Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57992 / 86727
↖ ↑ ↗
← S 50.189209°
W 20.720215°		 ← 195.55 m → S 50.189209°
W 20.717468°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
S 50.190968°
W 20.720215°		 ← 195.54 m →
38 234 m²		 S 50.190968°
W 20.717468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442447662353516 y=0.661678314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442447662353516 × 217)
    floor (0.442447662353516 × 131072)
    floor (57992.5)     		tx = 57992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661678314208984 × 217)
    floor (0.661678314208984 × 131072)
    floor (86727.5)     		ty = 86727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57992 / 86727 ti = "17/57992/86727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57992/86727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57992 ÷ 217
    57992 ÷ 131072     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86727 ÷ 217
    86727 ÷ 131072     		y = 0.661674499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661674499511719 × 2 - 1) × π
    -0.323348999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.01583083984861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01583083984861))-π/2
    2×atan(0.362101456500185)-π/2
    2×0.347414687893307-π/2
    0.694829375786615-1.57079632675     		φ = -0.87596695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87596695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.189209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57992 KachelY 86727 -0.36163597 -0.87596695 -20.720215 -50.189209
    Oben rechts KachelX + 1 57993 KachelY 86727 -0.36158803 -0.87596695 -20.717468 -50.189209
    Unten links KachelX 57992 KachelY + 1 86728 -0.36163597 -0.87599764 -20.720215 -50.190968
    Unten rechts KachelX + 1 57993 KachelY + 1 86728 -0.36158803 -0.87599764 -20.717468 -50.190968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87596695--0.87599764) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87596695--0.87599764) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36158803) × cos(-0.87596695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640254382425952 × 6371000     		do = 195.550168540561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36158803) × cos(-0.87599764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64023080720334 × 6371000     		du = 195.542968060749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87596695)-sin(-0.87599764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640254382425952-0.64023080720334)×R²
    abs(-0.36158803--0.36163597)×2.35752226124264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35752226124264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35752226124264e-05×40589641000000     		ar = 38234.4363611524m²