Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57992 / 44504
↖ ↑ ↗
← N 49.908787°
W 20.720215°		 ← 196.70 m → N 49.908787°
W 20.717468°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.907018°
W 20.720215°		 ← 196.70 m →
38 685 m²		 N 49.907018°
W 20.717468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442447662353516 y=0.339542388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442447662353516 × 217)
    floor (0.442447662353516 × 131072)
    floor (57992.5)     		tx = 57992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339542388916016 × 217)
    floor (0.339542388916016 × 131072)
    floor (44504.5)     		ty = 44504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57992 / 44504 ti = "17/57992/44504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57992/44504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57992 ÷ 217
    57992 ÷ 131072     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44504 ÷ 217
    44504 ÷ 131072     		y = 0.33953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33953857421875 × 2 - 1) × π
    0.3209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00820887280902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00820887280902))-π/2
    2×atan(2.74068769588664)-π/2
    2×1.22093449280901-π/2
    2.44186898561802-1.57079632675     		φ = 0.87107266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87107266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.908787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57992 KachelY 44504 -0.36163597 0.87107266 -20.720215 49.908787
    Oben rechts KachelX + 1 57993 KachelY 44504 -0.36158803 0.87107266 -20.717468 49.908787
    Unten links KachelX 57992 KachelY + 1 44505 -0.36163597 0.87104179 -20.720215 49.907018
    Unten rechts KachelX + 1 57993 KachelY + 1 44505 -0.36158803 0.87104179 -20.717468 49.907018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87107266-0.87104179) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87107266-0.87104179) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36158803) × cos(0.87107266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644006311351126 × 6371000     		do = 196.696104208959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36158803) × cos(0.87104179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644029927217126 × 6371000     		du = 196.703317102308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87107266)-sin(0.87104179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644006311351126-0.644029927217126)×R²
    abs(-0.36158803--0.36163597)×2.36158659995267e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36158659995267e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36158659995267e-05×40589641000000     		ar = 38685.4769559531m²