Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57992 / 38570
↖ ↑ ↗
← N 59.296747°
W 20.720215°		 ← 155.95 m → N 59.296747°
W 20.717468°		 →
↑
155.96 m
↓
↑
155.96 m
↓
N 59.295344°
W 20.720215°		 ← 155.95 m →
24 322 m²		 N 59.295344°
W 20.717468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442447662353516 y=0.294269561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442447662353516 × 217)
    floor (0.442447662353516 × 131072)
    floor (57992.5)     		tx = 57992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294269561767578 × 217)
    floor (0.294269561767578 × 131072)
    floor (38570.5)     		ty = 38570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57992 / 38570 ti = "17/57992/38570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57992/38570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57992 ÷ 217
    57992 ÷ 131072     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38570 ÷ 217
    38570 ÷ 131072     		y = 0.294265747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294265747070312 × 2 - 1) × π
    0.411468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29266643515443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29266643515443))-π/2
    2×atan(3.64248607135145)-π/2
    2×1.3028598990426-π/2
    2.60571979808521-1.57079632675     		φ = 1.03492347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03492347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.296747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57992 KachelY 38570 -0.36163597 1.03492347 -20.720215 59.296747
    Oben rechts KachelX + 1 57993 KachelY 38570 -0.36158803 1.03492347 -20.717468 59.296747
    Unten links KachelX 57992 KachelY + 1 38571 -0.36163597 1.03489899 -20.720215 59.295344
    Unten rechts KachelX + 1 57993 KachelY + 1 38571 -0.36158803 1.03489899 -20.717468 59.295344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03492347-1.03489899) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dl = 155.962079999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03492347-1.03489899) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dr = 155.962079999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36158803) × cos(1.03492347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510591736433272 × 6371000     		do = 155.947858937915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36158803) × cos(1.03489899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.510612784754257 × 6371000     		du = 155.954287636927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03492347)-sin(1.03489899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510591736433272-0.510612784754257)×R²
    abs(-0.36158803--0.36163597)×2.10483209843737e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10483209843737e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10483209843737e-05×40589641000000     		ar = 24322.4537692914m²