Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57991 / 38569
↖ ↑ ↗
← N 59.298150°
W 20.722962°		 ← 155.94 m → N 59.298150°
W 20.720215°		 →
↑
155.96 m
↓
↑
155.96 m
↓
N 59.296747°
W 20.722962°		 ← 155.95 m →
24 321 m²		 N 59.296747°
W 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442440032958984 y=0.294261932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442440032958984 × 217)
    floor (0.442440032958984 × 131072)
    floor (57991.5)     		tx = 57991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294261932373047 × 217)
    floor (0.294261932373047 × 131072)
    floor (38569.5)     		ty = 38569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57991 / 38569 ti = "17/57991/38569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57991/38569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57991 ÷ 217
    57991 ÷ 131072     		x = 0.442436218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38569 ÷ 217
    38569 ÷ 131072     		y = 0.294258117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442436218261719 × 2 - 1) × π
    -0.115127563476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36168391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294258117675781 × 2 - 1) × π
    0.411483764648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.29271437205405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36168391} λ = -0.36168391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29271437205405))-π/2
    2×atan(3.6426606850258)-π/2
    2×1.30287213688278-π/2
    2.60574427376555-1.57079632675     		φ = 1.03494795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36168391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.722962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03494795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.298150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57991 KachelY 38569 -0.36168391 1.03494795 -20.722962 59.298150
    Oben rechts KachelX + 1 57992 KachelY 38569 -0.36163597 1.03494795 -20.720215 59.298150
    Unten links KachelX 57991 KachelY + 1 38570 -0.36168391 1.03492347 -20.722962 59.296747
    Unten rechts KachelX + 1 57992 KachelY + 1 38570 -0.36163597 1.03492347 -20.720215 59.296747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03494795-1.03492347) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dl = 155.962079999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03494795-1.03492347) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dr = 155.962079999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36168391--0.36163597) × cos(1.03494795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510570687806305 × 6371000     		do = 155.941430145628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36168391--0.36163597) × cos(1.03492347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510591736433272 × 6371000     		du = 155.947858938095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03494795)-sin(1.03492347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510570687806305-0.510591736433272)×R²
    abs(-0.36163597--0.36168391)×2.10486269669463e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10486269669463e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10486269669463e-05×40589641000000     		ar = 24321.4511288317m²