Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57989 / 44533
↖ ↑ ↗
← N 49.857464°
W 20.728455°		 ← 196.91 m → N 49.857464°
W 20.725708°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 49.855693°
W 20.728455°		 ← 196.91 m →
38 764 m²		 N 49.855693°
W 20.725708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442424774169922 y=0.339763641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442424774169922 × 217)
    floor (0.442424774169922 × 131072)
    floor (57989.5)     		tx = 57989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339763641357422 × 217)
    floor (0.339763641357422 × 131072)
    floor (44533.5)     		ty = 44533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57989 / 44533 ti = "17/57989/44533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57989/44533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57989 ÷ 217
    57989 ÷ 131072     		x = 0.442420959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44533 ÷ 217
    44533 ÷ 131072     		y = 0.339759826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442420959472656 × 2 - 1) × π
    -0.115158081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36177978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339759826660156 × 2 - 1) × π
    0.320480346679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00681870272004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36177978} λ = -0.36177978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00681870272004))-π/2
    2×atan(2.73688032089116)-π/2
    2×1.22048661559433-π/2
    2.44097323118865-1.57079632675     		φ = 0.87017690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36177978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.728455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87017690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.857464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57989 KachelY 44533 -0.36177978 0.87017690 -20.728455 49.857464
    Oben rechts KachelX + 1 57990 KachelY 44533 -0.36173184 0.87017690 -20.725708 49.857464
    Unten links KachelX 57989 KachelY + 1 44534 -0.36177978 0.87014600 -20.728455 49.855693
    Unten rechts KachelX + 1 57990 KachelY + 1 44534 -0.36173184 0.87014600 -20.725708 49.855693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87017690-0.87014600) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87017690-0.87014600) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36177978--0.36173184) × cos(0.87017690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644691327362271 × 6371000     		do = 196.905325731075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36177978--0.36173184) × cos(0.87014600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		du = 196.912540186603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87017690)-sin(0.87014600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644691327362271-0.644714948343031)×R²
    abs(-0.36173184--0.36177978)×2.36209807592536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36209807592536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36209807592536e-05×40589641000000     		ar = 38764.2604902733m²