Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57988 / 81654
↖ ↑ ↗
← S 40.426042°
W 20.731201°		 ← 232.50 m → S 40.426042°
W 20.728455°		 →
↑
232.48 m
↓
↑
232.48 m
↓
S 40.428133°
W 20.731201°		 ← 232.50 m →
54 051 m²		 S 40.428133°
W 20.728455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442417144775391 y=0.622974395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442417144775391 × 217)
    floor (0.442417144775391 × 131072)
    floor (57988.5)     		tx = 57988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622974395751953 × 217)
    floor (0.622974395751953 × 131072)
    floor (81654.5)     		ty = 81654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57988 / 81654 ti = "17/57988/81654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57988/81654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57988 ÷ 217
    57988 ÷ 131072     		x = 0.442413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81654 ÷ 217
    81654 ÷ 131072     		y = 0.622970581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622970581054688 × 2 - 1) × π
    -0.245941162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.772646948076065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36182772} λ = -0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772646948076065))-π/2
    2×atan(0.461789117342817)-π/2
    2×0.432614394061774-π/2
    0.865228788123549-1.57079632675     		φ = -0.70556754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70556754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.426042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57988 KachelY 81654 -0.36182772 -0.70556754 -20.731201 -40.426042
    Oben rechts KachelX + 1 57989 KachelY 81654 -0.36177978 -0.70556754 -20.728455 -40.426042
    Unten links KachelX 57988 KachelY + 1 81655 -0.36182772 -0.70560403 -20.731201 -40.428133
    Unten rechts KachelX + 1 57989 KachelY + 1 81655 -0.36177978 -0.70560403 -20.728455 -40.428133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70556754--0.70560403) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dl = 232.477790000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70556754--0.70560403) × R
    3.64900000000556e-05 × 6371000     		dr = 232.477790000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36182772--0.36177978) × cos(-0.70556754) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761243644004025 × 6371000     		do = 232.503403290343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36182772--0.36177978) × cos(-0.70560403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.761219980973973 × 6371000     		du = 232.496175991878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70556754)-sin(-0.70560403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761243644004025-0.761219980973973)×R²
    abs(-0.36177978--0.36182772)×2.3663030051746e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3663030051746e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3663030051746e-05×40589641000000     		ar = 54051.0372773172m²