Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57983 / 38555
↖ ↑ ↗
← N 59.317776°
W 20.744934°		 ← 155.82 m → N 59.317776°
W 20.742188°		 →
↑
155.83 m
↓
↑
155.83 m
↓
N 59.316375°
W 20.744934°		 ← 155.83 m →
24 282 m²		 N 59.316375°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442378997802734 y=0.294155120849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442378997802734 × 217)
    floor (0.442378997802734 × 131072)
    floor (57983.5)     		tx = 57983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294155120849609 × 217)
    floor (0.294155120849609 × 131072)
    floor (38555.5)     		ty = 38555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57983 / 38555 ti = "17/57983/38555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57983/38555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57983 ÷ 217
    57983 ÷ 131072     		x = 0.442375183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38555 ÷ 217
    38555 ÷ 131072     		y = 0.294151306152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442375183105469 × 2 - 1) × π
    -0.115249633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36206740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294151306152344 × 2 - 1) × π
    0.411697387695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.29338548864874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36206740} λ = -0.36206740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29338548864874))-π/2
    2×atan(3.64510615556646)-π/2
    2×1.30304341368857-π/2
    2.60608682737715-1.57079632675     		φ = 1.03529050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36206740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.744934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03529050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.317776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57983 KachelY 38555 -0.36206740 1.03529050 -20.744934 59.317776
    Oben rechts KachelX + 1 57984 KachelY 38555 -0.36201947 1.03529050 -20.742188 59.317776
    Unten links KachelX 57983 KachelY + 1 38556 -0.36206740 1.03526604 -20.744934 59.316375
    Unten rechts KachelX + 1 57984 KachelY + 1 38556 -0.36201947 1.03526604 -20.742188 59.316375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03529050-1.03526604) × R
    2.44599999998929e-05 × 6371000     		dl = 155.834659999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03529050-1.03526604) × R
    2.44599999998929e-05 × 6371000     		dr = 155.834659999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36206740--0.36201947) × cos(1.03529050) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.510276121109483 × 6371000     		do = 155.818952202432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36206740--0.36201947) × cos(1.03526604) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.510297156816794 × 6371000     		du = 155.825375708719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03529050)-sin(1.03526604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510276121109483-0.510297156816794)×R²
    abs(-0.36201947--0.36206740)×2.10357073110456e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10357073110456e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10357073110456e-05×40589641000000     		ar = 24282.4939415888m²