Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57982 / 38558
↖ ↑ ↗
← N 59.313571°
W 20.747681°		 ← 155.87 m → N 59.313571°
W 20.744934°		 →
↑
155.83 m
↓
↑
155.83 m
↓
N 59.312170°
W 20.747681°		 ← 155.88 m →
24 291 m²		 N 59.312170°
W 20.744934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442371368408203 y=0.294178009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442371368408203 × 217)
    floor (0.442371368408203 × 131072)
    floor (57982.5)     		tx = 57982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294178009033203 × 217)
    floor (0.294178009033203 × 131072)
    floor (38558.5)     		ty = 38558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57982 / 38558 ti = "17/57982/38558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57982/38558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57982 ÷ 217
    57982 ÷ 131072     		x = 0.442367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38558 ÷ 217
    38558 ÷ 131072     		y = 0.294174194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442367553710938 × 2 - 1) × π
    -0.115264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36211534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294174194335938 × 2 - 1) × π
    0.411651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29324167794987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36211534} λ = -0.36211534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29324167794987))-π/2
    2×atan(3.64458198799417)-π/2
    2×1.30300671983677-π/2
    2.60601343967354-1.57079632675     		φ = 1.03521711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36211534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.747681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03521711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.313571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57982 KachelY 38558 -0.36211534 1.03521711 -20.747681 59.313571
    Oben rechts KachelX + 1 57983 KachelY 38558 -0.36206740 1.03521711 -20.744934 59.313571
    Unten links KachelX 57982 KachelY + 1 38559 -0.36211534 1.03519265 -20.747681 59.312170
    Unten rechts KachelX + 1 57983 KachelY + 1 38559 -0.36206740 1.03519265 -20.744934 59.312170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03521711-1.03519265) × R
    2.44600000001149e-05 × 6371000     		dl = 155.834660000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03521711-1.03519265) × R
    2.44600000001149e-05 × 6371000     		dr = 155.834660000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36211534--0.36206740) × cos(1.03521711) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510339235915216 × 6371000     		do = 155.870738780518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36211534--0.36206740) × cos(1.03519265) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510360270706445 × 6371000     		du = 155.877163347195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03521711)-sin(1.03519265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510339235915216-0.510360270706445)×R²
    abs(-0.36206740--0.36211534)×2.10347912291686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10347912291686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10347912291686e-05×40589641000000     		ar = 24290.5641680986m²