Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57978 / 38566
↖ ↑ ↗
← N 59.302356°
W 20.758667°		 ← 155.92 m → N 59.302356°
W 20.755920°		 →
↑
155.90 m
↓
↑
155.90 m
↓
N 59.300954°
W 20.758667°		 ← 155.93 m →
24 309 m²		 N 59.300954°
W 20.755920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442340850830078 y=0.294239044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442340850830078 × 217)
    floor (0.442340850830078 × 131072)
    floor (57978.5)     		tx = 57978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294239044189453 × 217)
    floor (0.294239044189453 × 131072)
    floor (38566.5)     		ty = 38566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57978 / 38566 ti = "17/57978/38566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57978/38566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57978 ÷ 217
    57978 ÷ 131072     		x = 0.442337036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38566 ÷ 217
    38566 ÷ 131072     		y = 0.294235229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442337036132812 × 2 - 1) × π
    -0.115325927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36230709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294235229492188 × 2 - 1) × π
    0.411529541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29285818275291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36230709} λ = -0.36230709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29285818275291))-π/2
    2×atan(3.64318457627431)-π/2
    2×1.30290884737691-π/2
    2.60581769475382-1.57079632675     		φ = 1.03502137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36230709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.758667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03502137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.302356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57978 KachelY 38566 -0.36230709 1.03502137 -20.758667 59.302356
    Oben rechts KachelX + 1 57979 KachelY 38566 -0.36225915 1.03502137 -20.755920 59.302356
    Unten links KachelX 57978 KachelY + 1 38567 -0.36230709 1.03499690 -20.758667 59.300954
    Unten rechts KachelX + 1 57979 KachelY + 1 38567 -0.36225915 1.03499690 -20.755920 59.300954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03502137-1.03499690) × R
    2.44699999998321e-05 × 6371000     		dl = 155.89836999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03502137-1.03499690) × R
    2.44699999998321e-05 × 6371000     		dr = 155.89836999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36230709--0.36225915) × cos(1.03502137) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510507557287101 × 6371000     		do = 155.922148460084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36230709--0.36225915) × cos(1.03499690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510528598233082 × 6371000     		du = 155.92857490658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03502137)-sin(1.03499690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510507557287101-0.510528598233082)×R²
    abs(-0.36225915--0.36230709)×2.10409459809879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10409459809879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10409459809879e-05×40589641000000     		ar = 24308.509728943m²