Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57977 / 86711
↖ ↑ ↗
← S 50.161065°
W 20.761413°		 ← 195.62 m → S 50.161065°
W 20.758667°		 →
↑
195.65 m
↓
↑
195.65 m
↓
S 50.162825°
W 20.761413°		 ← 195.62 m →
38 274 m²		 S 50.162825°
W 20.758667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442333221435547 y=0.661556243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442333221435547 × 217)
    floor (0.442333221435547 × 131072)
    floor (57977.5)     		tx = 57977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661556243896484 × 217)
    floor (0.661556243896484 × 131072)
    floor (86711.5)     		ty = 86711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57977 / 86711 ti = "17/57977/86711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57977/86711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57977 ÷ 217
    57977 ÷ 131072     		x = 0.442329406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86711 ÷ 217
    86711 ÷ 131072     		y = 0.661552429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442329406738281 × 2 - 1) × π
    -0.115341186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36235502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661552429199219 × 2 - 1) × π
    -0.323104858398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.01506384945469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36235502} λ = -0.36235502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01506384945469))-π/2
    2×atan(0.362379291373664)-π/2
    2×0.347660294709053-π/2
    0.695320589418106-1.57079632675     		φ = -0.87547574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36235502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.761413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87547574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.161065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57977 KachelY 86711 -0.36235502 -0.87547574 -20.761413 -50.161065
    Oben rechts KachelX + 1 57978 KachelY 86711 -0.36230709 -0.87547574 -20.758667 -50.161065
    Unten links KachelX 57977 KachelY + 1 86712 -0.36235502 -0.87550645 -20.761413 -50.162825
    Unten rechts KachelX + 1 57978 KachelY + 1 86712 -0.36230709 -0.87550645 -20.758667 -50.162825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87547574--0.87550645) × R
    3.07100000001004e-05 × 6371000     		dl = 195.65341000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87547574--0.87550645) × R
    3.07100000001004e-05 × 6371000     		dr = 195.65341000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36235502--0.36230709) × cos(-0.87547574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640631634493403 × 6371000     		do = 195.624576391243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36235502--0.36230709) × cos(-0.87550645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640608053568081 × 6371000     		du = 195.617375672018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87547574)-sin(-0.87550645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640631634493403-0.640608053568081)×R²
    abs(-0.36230709--0.36235502)×2.35809253218422e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35809253218422e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35809253218422e-05×40589641000000     		ar = 38273.9110313987m²