Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57977 / 44521
↖ ↑ ↗
← N 49.878708°
W 20.761413°		 ← 196.78 m → N 49.878708°
W 20.758667°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 49.876938°
W 20.761413°		 ← 196.78 m →
38 727 m²		 N 49.876938°
W 20.758667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442333221435547 y=0.339672088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442333221435547 × 217)
    floor (0.442333221435547 × 131072)
    floor (57977.5)     		tx = 57977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339672088623047 × 217)
    floor (0.339672088623047 × 131072)
    floor (44521.5)     		ty = 44521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57977 / 44521 ti = "17/57977/44521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57977/44521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57977 ÷ 217
    57977 ÷ 131072     		x = 0.442329406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44521 ÷ 217
    44521 ÷ 131072     		y = 0.339668273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442329406738281 × 2 - 1) × π
    -0.115341186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36235502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339668273925781 × 2 - 1) × π
    0.320663452148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00739394551548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36235502} λ = -0.36235502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00739394551548))-π/2
    2×atan(2.73845514448728)-π/2
    2×1.22067200184589-π/2
    2.44134400369179-1.57079632675     		φ = 0.87054768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36235502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.761413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87054768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.878708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57977 KachelY 44521 -0.36235502 0.87054768 -20.761413 49.878708
    Oben rechts KachelX + 1 57978 KachelY 44521 -0.36230709 0.87054768 -20.758667 49.878708
    Unten links KachelX 57977 KachelY + 1 44522 -0.36235502 0.87051679 -20.761413 49.876938
    Unten rechts KachelX + 1 57978 KachelY + 1 44522 -0.36230709 0.87051679 -20.758667 49.876938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87054768-0.87051679) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87054768-0.87051679) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36235502--0.36230709) × cos(0.87054768) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644407842879749 × 6371000     		do = 196.777687049802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36235502--0.36230709) × cos(0.87051679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.644431463598693 × 6371000     		du = 196.784899920488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87054768)-sin(0.87051679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644407842879749-0.644431463598693)×R²
    abs(-0.36230709--0.36235502)×2.36207189442394e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36207189442394e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36207189442394e-05×40589641000000     		ar = 38726.5959493341m²