Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57976 / 86790
↖ ↑ ↗
← S 50.299867°
W 20.764160°		 ← 195.10 m → S 50.299867°
W 20.761413°		 →
↑
195.08 m
↓
↑
195.08 m
↓
S 50.301621°
W 20.764160°		 ← 195.09 m →
38 059 m²		 S 50.301621°
W 20.761413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442325592041016 y=0.662158966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442325592041016 × 217)
    floor (0.442325592041016 × 131072)
    floor (57976.5)     		tx = 57976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662158966064453 × 217)
    floor (0.662158966064453 × 131072)
    floor (86790.5)     		ty = 86790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57976 / 86790 ti = "17/57976/86790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57976/86790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57976 ÷ 217
    57976 ÷ 131072     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86790 ÷ 217
    86790 ÷ 131072     		y = 0.662155151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662155151367188 × 2 - 1) × π
    -0.324310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01885086452467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01885086452467))-π/2
    2×atan(0.361009550787312)-π/2
    2×0.346449017027964-π/2
    0.692898034055928-1.57079632675     		φ = -0.87789829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87789829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.299867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57976 KachelY 86790 -0.36240296 -0.87789829 -20.764160 -50.299867
    Oben rechts KachelX + 1 57977 KachelY 86790 -0.36235502 -0.87789829 -20.761413 -50.299867
    Unten links KachelX 57976 KachelY + 1 86791 -0.36240296 -0.87792891 -20.764160 -50.301621
    Unten rechts KachelX + 1 57977 KachelY + 1 86791 -0.36235502 -0.87792891 -20.761413 -50.301621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87789829--0.87792891) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dl = 195.08001999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87789829--0.87792891) × R
    3.06199999999812e-05 × 6371000     		dr = 195.08001999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36235502) × cos(-0.87789829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638769605408511 × 6371000     		do = 195.096679421275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36235502) × cos(-0.87792891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63874604614014 × 6371000     		du = 195.089483814298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87789829)-sin(-0.87792891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638769605408511-0.63874604614014)×R²
    abs(-0.36235502--0.36240296)×2.3559268371498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3559268371498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3559268371498e-05×40589641000000     		ar = 38058.7622667014m²