Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57976 / 86762
↖ ↑ ↗
← S 50.250717°
W 20.764160°		 ← 195.30 m → S 50.250717°
W 20.761413°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 50.252474°
W 20.764160°		 ← 195.29 m →
38 135 m²		 S 50.252474°
W 20.761413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442325592041016 y=0.661945343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442325592041016 × 217)
    floor (0.442325592041016 × 131072)
    floor (57976.5)     		tx = 57976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661945343017578 × 217)
    floor (0.661945343017578 × 131072)
    floor (86762.5)     		ty = 86762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57976 / 86762 ti = "17/57976/86762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57976/86762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57976 ÷ 217
    57976 ÷ 131072     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86762 ÷ 217
    86762 ÷ 131072     		y = 0.661941528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661941528320312 × 2 - 1) × π
    -0.323883056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01750863133531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01750863133531))-π/2
    2×atan(0.361494435129187)-π/2
    2×0.346877927288543-π/2
    0.693755854577086-1.57079632675     		φ = -0.87704047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87704047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.250717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57976 KachelY 86762 -0.36240296 -0.87704047 -20.764160 -50.250717
    Oben rechts KachelX + 1 57977 KachelY 86762 -0.36235502 -0.87704047 -20.761413 -50.250717
    Unten links KachelX 57976 KachelY + 1 86763 -0.36240296 -0.87707112 -20.764160 -50.252474
    Unten rechts KachelX + 1 57977 KachelY + 1 86763 -0.36235502 -0.87707112 -20.761413 -50.252474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87704047--0.87707112) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87704047--0.87707112) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36235502) × cos(-0.87704047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639429375359641 × 6371000     		do = 195.298190146828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36235502) × cos(-0.87707112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639405809811752 × 6371000     		du = 195.290992621926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87704047)-sin(-0.87707112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639429375359641-0.639405809811752)×R²
    abs(-0.36235502--0.36240296)×2.35655478888486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35655478888486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35655478888486e-05×40589641000000     		ar = 38135.3994513456m²