Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57974 / 84439
↖ ↑ ↗
← S 45.995053°
W 20.769653°		 ← 212.14 m → S 45.995053°
W 20.766907°		 →
↑
212.22 m
↓
↑
212.22 m
↓
S 45.996962°
W 20.769653°		 ← 212.13 m →
45 019 m²		 S 45.996962°
W 20.766907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442310333251953 y=0.644222259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442310333251953 × 217)
    floor (0.442310333251953 × 131072)
    floor (57974.5)     		tx = 57974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644222259521484 × 217)
    floor (0.644222259521484 × 131072)
    floor (84439.5)     		ty = 84439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57974 / 84439 ti = "17/57974/84439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57974/84439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57974 ÷ 217
    57974 ÷ 131072     		x = 0.442306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84439 ÷ 217
    84439 ÷ 131072     		y = 0.644218444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442306518554688 × 2 - 1) × π
    -0.115386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36249883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644218444824219 × 2 - 1) × π
    -0.288436889648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.906151213517921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36249883} λ = -0.36249883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906151213517921))-π/2
    2×atan(0.404076438981661)-π/2
    2×0.384015601416532-π/2
    0.768031202833064-1.57079632675     		φ = -0.80276512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36249883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.769653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80276512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.995053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57974 KachelY 84439 -0.36249883 -0.80276512 -20.769653 -45.995053
    Oben rechts KachelX + 1 57975 KachelY 84439 -0.36245090 -0.80276512 -20.766907 -45.995053
    Unten links KachelX 57974 KachelY + 1 84440 -0.36249883 -0.80279843 -20.769653 -45.996962
    Unten rechts KachelX + 1 57975 KachelY + 1 84440 -0.36245090 -0.80279843 -20.766907 -45.996962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80276512--0.80279843) × R
    3.33099999999531e-05 × 6371000     		dl = 212.218009999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80276512--0.80279843) × R
    3.33099999999531e-05 × 6371000     		dr = 212.218009999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36249883--0.36245090) × cos(-0.80276512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.694720472731545 × 6371000     		do = 212.141253835748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36249883--0.36245090) × cos(-0.80279843) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.694696513135207 × 6371000     		du = 212.133937484773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80276512)-sin(-0.80279843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694720472731545-0.694696513135207)×R²
    abs(-0.36245090--0.36249883)×2.39595963382744e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39595963382744e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39595963382744e-05×40589641000000     		ar = 45019.4184013242m²