Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57973 / 84437
↖ ↑ ↗
← S 45.991237°
W 20.772400°		 ← 212.20 m → S 45.991237°
W 20.769653°		 →
↑
212.15 m
↓
↑
212.15 m
↓
S 45.993145°
W 20.772400°		 ← 212.19 m →
45 018 m²		 S 45.993145°
W 20.769653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442302703857422 y=0.644207000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442302703857422 × 217)
    floor (0.442302703857422 × 131072)
    floor (57973.5)     		tx = 57973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644207000732422 × 217)
    floor (0.644207000732422 × 131072)
    floor (84437.5)     		ty = 84437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57973 / 84437 ti = "17/57973/84437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57973/84437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57973 ÷ 217
    57973 ÷ 131072     		x = 0.442298889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84437 ÷ 217
    84437 ÷ 131072     		y = 0.644203186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442298889160156 × 2 - 1) × π
    -0.115402221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36254677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644203186035156 × 2 - 1) × π
    -0.288406372070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.906055339718681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36254677} λ = -0.36254677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906055339718681))-π/2
    2×atan(0.4041151811822)-π/2
    2×0.384048905310242-π/2
    0.768097810620485-1.57079632675     		φ = -0.80269852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36254677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.772400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80269852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.991237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57973 KachelY 84437 -0.36254677 -0.80269852 -20.772400 -45.991237
    Oben rechts KachelX + 1 57974 KachelY 84437 -0.36249883 -0.80269852 -20.769653 -45.991237
    Unten links KachelX 57973 KachelY + 1 84438 -0.36254677 -0.80273182 -20.772400 -45.993145
    Unten rechts KachelX + 1 57974 KachelY + 1 84438 -0.36249883 -0.80273182 -20.769653 -45.993145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80269852--0.80273182) × R
    3.33000000000139e-05 × 6371000     		dl = 212.154300000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80269852--0.80273182) × R
    3.33000000000139e-05 × 6371000     		dr = 212.154300000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36254677--0.36249883) × cos(-0.80269852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.69476837522703 × 6371000     		do = 212.20014513242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36254677--0.36249883) × cos(-0.80273182) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694744424364485 × 6371000     		du = 212.192829922503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80269852)-sin(-0.80273182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69476837522703-0.694744424364485)×R²
    abs(-0.36249883--0.36254677)×2.39508625450302e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39508625450302e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39508625450302e-05×40589641000000     		ar = 45018.3972780931m²