Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57970 / 81652
↖ ↑ ↗
← S 40.421860°
W 20.780640°		 ← 232.47 m → S 40.421860°
W 20.777893°		 →
↑
232.54 m
↓
↑
232.54 m
↓
S 40.423951°
W 20.780640°		 ← 232.46 m →
54 058 m²		 S 40.423951°
W 20.777893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442279815673828 y=0.622959136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442279815673828 × 217)
    floor (0.442279815673828 × 131072)
    floor (57970.5)     		tx = 57970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622959136962891 × 217)
    floor (0.622959136962891 × 131072)
    floor (81652.5)     		ty = 81652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57970 / 81652 ti = "17/57970/81652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57970/81652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57970 ÷ 217
    57970 ÷ 131072     		x = 0.442276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81652 ÷ 217
    81652 ÷ 131072     		y = 0.622955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442276000976562 × 2 - 1) × π
    -0.115447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36269058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.24591064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.772551074276825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36269058} λ = -0.36269058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772551074276825))-π/2
    2×atan(0.461833392942345)-π/2
    2×0.432650886856315-π/2
    0.865301773712631-1.57079632675     		φ = -0.70549455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36269058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.780640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70549455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.421860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57970 KachelY 81652 -0.36269058 -0.70549455 -20.780640 -40.421860
    Oben rechts KachelX + 1 57971 KachelY 81652 -0.36264265 -0.70549455 -20.777893 -40.421860
    Unten links KachelX 57970 KachelY + 1 81653 -0.36269058 -0.70553105 -20.780640 -40.423951
    Unten rechts KachelX + 1 57971 KachelY + 1 81653 -0.36264265 -0.70553105 -20.777893 -40.423951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70549455--0.70553105) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dl = 232.541499999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70549455--0.70553105) × R
    3.64999999999949e-05 × 6371000     		dr = 232.541499999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36269058--0.36264265) × cos(-0.70549455) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.761290973507367 × 6371000     		do = 232.469357090759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36269058--0.36264265) × cos(-0.70553105) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.761267306020466 × 6371000     		du = 232.462129938914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70549455)-sin(-0.70553105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761290973507367-0.761267306020466)×R²
    abs(-0.36264265--0.36269058)×2.36674869018572e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36674869018572e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36674869018572e-05×40589641000000     		ar = 54057.9327015822m²