Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57968 / 86768
↖ ↑ ↗
← S 50.261254°
W 20.786133°		 ← 195.26 m → S 50.261254°
W 20.783386°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
S 50.263010°
W 20.786133°		 ← 195.25 m →
38 115 m²		 S 50.263010°
W 20.783386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442264556884766 y=0.661991119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442264556884766 × 217)
    floor (0.442264556884766 × 131072)
    floor (57968.5)     		tx = 57968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661991119384766 × 217)
    floor (0.661991119384766 × 131072)
    floor (86768.5)     		ty = 86768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57968 / 86768 ti = "17/57968/86768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57968/86768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57968 ÷ 217
    57968 ÷ 131072     		x = 0.4422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86768 ÷ 217
    86768 ÷ 131072     		y = 0.6619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36278646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36278646} λ = -0.36278646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01779625273303))-π/2
    2×atan(0.36139047654556)-π/2
    2×0.346785980670769-π/2
    0.693571961341539-1.57079632675     		φ = -0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36278646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57968 KachelY 86768 -0.36278646 -0.87722437 -20.786133 -50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 57969 KachelY 86768 -0.36273852 -0.87722437 -20.783386 -50.261254
    Unten links KachelX 57968 KachelY + 1 86769 -0.36278646 -0.87725501 -20.786133 -50.263010
    Unten rechts KachelX + 1 57969 KachelY + 1 86769 -0.36273852 -0.87725501 -20.783386 -50.263010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87722437--0.87725501) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87722437--0.87725501) × R
    3.06399999999707e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36278646--0.36273852) × cos(-0.87722437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 195.255002245637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36278646--0.36273852) × cos(-0.87725501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639264411600948 × 6371000     		du = 195.247805968756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87722437)-sin(-0.87725501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639264411600948)×R²
    abs(-0.36273852--0.36278646)×2.35614617198898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35614617198898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35614617198898e-05×40589641000000     		ar = 38114.5267552057m²