Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57967 / 86322
↖ ↑ ↗
← S 49.471694°
W 20.788879°		 ← 198.43 m → S 49.471694°
W 20.786133°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
S 49.473478°
W 20.788879°		 ← 198.42 m →
39 379 m²		 S 49.473478°
W 20.786133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442256927490234 y=0.658588409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442256927490234 × 217)
    floor (0.442256927490234 × 131072)
    floor (57967.5)     		tx = 57967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658588409423828 × 217)
    floor (0.658588409423828 × 131072)
    floor (86322.5)     		ty = 86322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57967 / 86322 ti = "17/57967/86322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57967/86322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57967 ÷ 217
    57967 ÷ 131072     		x = 0.442253112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86322 ÷ 217
    86322 ÷ 131072     		y = 0.658584594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442253112792969 × 2 - 1) × π
    -0.115493774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36283439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658584594726562 × 2 - 1) × π
    -0.317169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.996416395502487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36283439} λ = -0.36283439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996416395502487))-π/2
    2×atan(0.369200140610199)-π/2
    2×0.353676191861216-π/2
    0.707352383722431-1.57079632675     		φ = -0.86344394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36283439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.788879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86344394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.471694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57967 KachelY 86322 -0.36283439 -0.86344394 -20.788879 -49.471694
    Oben rechts KachelX + 1 57968 KachelY 86322 -0.36278646 -0.86344394 -20.786133 -49.471694
    Unten links KachelX 57967 KachelY + 1 86323 -0.36283439 -0.86347509 -20.788879 -49.473478
    Unten rechts KachelX + 1 57968 KachelY + 1 86323 -0.36278646 -0.86347509 -20.786133 -49.473478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86344394--0.86347509) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86344394--0.86347509) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36283439--0.36278646) × cos(-0.86344394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649823639821207 × 6371000     		do = 198.431465797914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36283439--0.36278646) × cos(-0.86347509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649799962857579 × 6371000     		du = 198.424235752236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86344394)-sin(-0.86347509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649823639821207-0.649799962857579)×R²
    abs(-0.36278646--0.36283439)×2.36769636281497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36769636281497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36769636281497e-05×40589641000000     		ar = 39379.3265347524m²