Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57966 / 81572
↖ ↑ ↗
← S 40.254377°
W 20.791626°		 ← 233.10 m → S 40.254377°
W 20.788879°		 →
↑
233.05 m
↓
↑
233.05 m
↓
S 40.256472°
W 20.791626°		 ← 233.09 m →
54 322 m²		 S 40.256472°
W 20.788879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442249298095703 y=0.622348785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442249298095703 × 217)
    floor (0.442249298095703 × 131072)
    floor (57966.5)     		tx = 57966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622348785400391 × 217)
    floor (0.622348785400391 × 131072)
    floor (81572.5)     		ty = 81572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57966 / 81572 ti = "17/57966/81572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57966/81572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57966 ÷ 217
    57966 ÷ 131072     		x = 0.442245483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81572 ÷ 217
    81572 ÷ 131072     		y = 0.622344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442245483398438 × 2 - 1) × π
    -0.115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36288233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.24468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.76871612230722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36288233} λ = -0.36288233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76871612230722))-π/2
    2×atan(0.463607902226388)-π/2
    2×0.434112458369432-π/2
    0.868224916738865-1.57079632675     		φ = -0.70257141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36288233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70257141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.254377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57966 KachelY 81572 -0.36288233 -0.70257141 -20.791626 -40.254377
    Oben rechts KachelX + 1 57967 KachelY 81572 -0.36283439 -0.70257141 -20.788879 -40.254377
    Unten links KachelX 57966 KachelY + 1 81573 -0.36288233 -0.70260799 -20.791626 -40.256472
    Unten rechts KachelX + 1 57967 KachelY + 1 81573 -0.36283439 -0.70260799 -20.788879 -40.256472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70257141--0.70260799) × R
    3.65799999999528e-05 × 6371000     		dl = 233.051179999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70257141--0.70260799) × R
    3.65799999999528e-05 × 6371000     		dr = 233.051179999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36288233--0.36283439) × cos(-0.70257141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763183112682898 × 6371000     		do = 233.095766946525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36288233--0.36283439) × cos(-0.70260799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763159474824564 × 6371000     		du = 233.088547336151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70257141)-sin(-0.70260799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763183112682898-0.763159474824564)×R²
    abs(-0.36283439--0.36288233)×2.36378583334806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36378583334806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36378583334806e-05×40589641000000     		ar = 54322.4022763637m²