Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57964 / 84597
↖ ↑ ↗
← S 46.295713°
W 20.797119°		 ← 210.99 m → S 46.295713°
W 20.794373°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 46.297611°
W 20.797119°		 ← 210.98 m →
44 519 m²		 S 46.297611°
W 20.794373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442234039306641 y=0.645427703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442234039306641 × 217)
    floor (0.442234039306641 × 131072)
    floor (57964.5)     		tx = 57964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645427703857422 × 217)
    floor (0.645427703857422 × 131072)
    floor (84597.5)     		ty = 84597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57964 / 84597 ti = "17/57964/84597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57964/84597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57964 ÷ 217
    57964 ÷ 131072     		x = 0.442230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84597 ÷ 217
    84597 ÷ 131072     		y = 0.645423889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.11553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36297820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645423889160156 × 2 - 1) × π
    -0.290847778320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.91372524365789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36297820} λ = -0.36297820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91372524365789))-π/2
    2×atan(0.401027512758876)-π/2
    2×0.381391850005859-π/2
    0.762783700011717-1.57079632675     		φ = -0.80801263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36297820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.797119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80801263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.295713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57964 KachelY 84597 -0.36297820 -0.80801263 -20.797119 -46.295713
    Oben rechts KachelX + 1 57965 KachelY 84597 -0.36293027 -0.80801263 -20.794373 -46.295713
    Unten links KachelX 57964 KachelY + 1 84598 -0.36297820 -0.80804575 -20.797119 -46.297611
    Unten rechts KachelX + 1 57965 KachelY + 1 84598 -0.36293027 -0.80804575 -20.794373 -46.297611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80801263--0.80804575) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80801263--0.80804575) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36297820--0.36293027) × cos(-0.80801263) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.690936496971258 × 6371000     		do = 210.985771316117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36297820--0.36293027) × cos(-0.80804575) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69091255363239 × 6371000     		du = 210.978459929555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80801263)-sin(-0.80804575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690936496971258-0.69091255363239)×R²
    abs(-0.36293027--0.36297820)×2.39433388686816e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39433388686816e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39433388686816e-05×40589641000000     		ar = 44518.8129860546m²