Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57963 / 81565
↖ ↑ ↗
← S 40.239702°
W 20.799866°		 ← 233.15 m → S 40.239702°
W 20.797119°		 →
↑
233.11 m
↓
↑
233.11 m
↓
S 40.241798°
W 20.799866°		 ← 233.14 m →
54 349 m²		 S 40.241798°
W 20.797119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442226409912109 y=0.622295379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442226409912109 × 217)
    floor (0.442226409912109 × 131072)
    floor (57963.5)     		tx = 57963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622295379638672 × 217)
    floor (0.622295379638672 × 131072)
    floor (81565.5)     		ty = 81565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57963 / 81565 ti = "17/57963/81565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57963/81565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57963 ÷ 217
    57963 ÷ 131072     		x = 0.442222595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81565 ÷ 217
    81565 ÷ 131072     		y = 0.622291564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442222595214844 × 2 - 1) × π
    -0.115554809570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.36302614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622291564941406 × 2 - 1) × π
    -0.244583129882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.76838056400988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36302614} λ = -0.36302614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76838056400988))-π/2
    2×atan(0.463763495808591)-π/2
    2×0.434240518464202-π/2
    0.868481036928404-1.57079632675     		φ = -0.70231529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36302614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.799866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70231529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.239702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57963 KachelY 81565 -0.36302614 -0.70231529 -20.799866 -40.239702
    Oben rechts KachelX + 1 57964 KachelY 81565 -0.36297820 -0.70231529 -20.797119 -40.239702
    Unten links KachelX 57963 KachelY + 1 81566 -0.36302614 -0.70235188 -20.799866 -40.241798
    Unten rechts KachelX + 1 57964 KachelY + 1 81566 -0.36297820 -0.70235188 -20.797119 -40.241798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70231529--0.70235188) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dl = 233.114890000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70231529--0.70235188) × R
    3.6590000000003e-05 × 6371000     		dr = 233.114890000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36302614--0.36297820) × cos(-0.70231529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763348587854718 × 6371000     		do = 233.146307323599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36302614--0.36297820) × cos(-0.70235188) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.763324950687065 × 6371000     		du = 233.139087924177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70231529)-sin(-0.70235188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763348587854718-0.763324950687065)×R²
    abs(-0.36297820--0.36302614)×2.36371676531899e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36371676531899e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36371676531899e-05×40589641000000     		ar = 54349.0343168721m²