Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57961 / 84590
↖ ↑ ↗
← S 46.282428°
W 20.805359°		 ← 211.04 m → S 46.282428°
W 20.802612°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
S 46.284326°
W 20.805359°		 ← 211.03 m →
44 543 m²		 S 46.284326°
W 20.802612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442211151123047 y=0.645374298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442211151123047 × 217)
    floor (0.442211151123047 × 131072)
    floor (57961.5)     		tx = 57961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645374298095703 × 217)
    floor (0.645374298095703 × 131072)
    floor (84590.5)     		ty = 84590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57961 / 84590 ti = "17/57961/84590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57961/84590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57961 ÷ 217
    57961 ÷ 131072     		x = 0.442207336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84590 ÷ 217
    84590 ÷ 131072     		y = 0.645370483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442207336425781 × 2 - 1) × π
    -0.115585327148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.36312201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645370483398438 × 2 - 1) × π
    -0.290740966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.91338968536055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36312201} λ = -0.36312201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91338968536055))-π/2
    2×atan(0.401162103448492)-π/2
    2×0.381507788804122-π/2
    0.763015577608243-1.57079632675     		φ = -0.80778075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36312201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.805359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80778075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.282428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57961 KachelY 84590 -0.36312201 -0.80778075 -20.805359 -46.282428
    Oben rechts KachelX + 1 57962 KachelY 84590 -0.36307408 -0.80778075 -20.802612 -46.282428
    Unten links KachelX 57961 KachelY + 1 84591 -0.36312201 -0.80781388 -20.805359 -46.284326
    Unten rechts KachelX + 1 57962 KachelY + 1 84591 -0.36307408 -0.80781388 -20.802612 -46.284326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80778075--0.80781388) × R
    3.31299999999368e-05 × 6371000     		dl = 211.071229999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80778075--0.80781388) × R
    3.31299999999368e-05 × 6371000     		dr = 211.071229999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36312201--0.36307408) × cos(-0.80778075) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.691104108030542 × 6371000     		do = 211.03695336943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36312201--0.36307408) × cos(-0.80781388) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.691080162770744 × 6371000     		du = 211.029641396289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80778075)-sin(-0.80781388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691104108030542-0.691080162770744)×R²
    abs(-0.36307408--0.36312201)×2.39452597986523e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39452597986523e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39452597986523e-05×40589641000000     		ar = 44543.0576535179m²