Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5796 / 2780
↖ ↑ ↗
← N 81.576408°
W116.323242°		 ← 178.95 m → N 81.576408°
W116.312256°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
N 81.574798°
W116.323242°		 ← 178.98 m →
32 039 m²		 N 81.574798°
W116.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.176895141601562 y=0.0848541259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.176895141601562 × 215)
    floor (0.176895141601562 × 32768)
    floor (5796.5)     		tx = 5796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0848541259765625 × 215)
    floor (0.0848541259765625 × 32768)
    floor (2780.5)     		ty = 2780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5796 / 2780 ti = "15/5796/2780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5796/2780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5796 ÷ 215
    5796 ÷ 32768     		x = 0.1768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2780 ÷ 215
    2780 ÷ 32768     		y = 0.0848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0848388671875 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60853432972498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.03022357} λ = -2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60853432972498))-π/2
    2×atan(13.5791337267634)-π/2
    2×1.49728662100265-π/2
    2.99457324200531-1.57079632675     		φ = 1.42377692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42377692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.576408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5796 KachelY 2780 -2.03022357 1.42377692 -116.323242 81.576408
    Oben rechts KachelX + 1 5797 KachelY 2780 -2.03003183 1.42377692 -116.312256 81.576408
    Unten links KachelX 5796 KachelY + 1 2781 -2.03022357 1.42374882 -116.323242 81.574798
    Unten rechts KachelX + 1 5797 KachelY + 1 2781 -2.03003183 1.42374882 -116.312256 81.574798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42377692-1.42374882) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42377692-1.42374882) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.03022357--2.03003183) × cos(1.42377692) × R
    0.000191739999999996 × 0.146490348682076 × 6371000     		do = 178.949026796091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.03022357--2.03003183) × cos(1.42374882) × R
    0.000191739999999996 × 0.146518145484232 × 6371000     		du = 178.982982689695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42377692)-sin(1.42374882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146490348682076-0.146518145484232)×R²
    abs(-2.03003183--2.03022357)×2.77968021563657e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77968021563657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77968021563657e-05×40589641000000     		ar = 32039.4068978225m²