Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57957 / 86820
↖ ↑ ↗
← S 50.352471°
W 20.816345°		 ← 194.84 m → S 50.352471°
W 20.813599°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
S 50.354223°
W 20.816345°		 ← 194.83 m →
37 971 m²		 S 50.354223°
W 20.813599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442180633544922 y=0.662387847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442180633544922 × 217)
    floor (0.442180633544922 × 131072)
    floor (57957.5)     		tx = 57957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662387847900391 × 217)
    floor (0.662387847900391 × 131072)
    floor (86820.5)     		ty = 86820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57957 / 86820 ti = "17/57957/86820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57957/86820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57957 ÷ 217
    57957 ÷ 131072     		x = 0.442176818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86820 ÷ 217
    86820 ÷ 131072     		y = 0.662384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442176818847656 × 2 - 1) × π
    -0.115646362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36331376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.32476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02028897151328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36331376} λ = -0.36331376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02028897151328))-π/2
    2×atan(0.360490753561743)-π/2
    2×0.34598996159112-π/2
    0.69197992318224-1.57079632675     		φ = -0.87881640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36331376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.816345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87881640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.352471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57957 KachelY 86820 -0.36331376 -0.87881640 -20.816345 -50.352471
    Oben rechts KachelX + 1 57958 KachelY 86820 -0.36326583 -0.87881640 -20.813599 -50.352471
    Unten links KachelX 57957 KachelY + 1 86821 -0.36331376 -0.87884699 -20.816345 -50.354223
    Unten rechts KachelX + 1 57958 KachelY + 1 86821 -0.36326583 -0.87884699 -20.813599 -50.354223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87881640--0.87884699) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87881640--0.87884699) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36331376--0.36326583) × cos(-0.87881640) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638062944227328 × 6371000     		do = 194.840195916927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36331376--0.36326583) × cos(-0.87884699) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638039390111903 × 6371000     		du = 194.833003384426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87881640)-sin(-0.87884699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638062944227328-0.638039390111903)×R²
    abs(-0.36326583--0.36331376)×2.35541154249841e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35541154249841e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35541154249841e-05×40589641000000     		ar = 37971.4886401071m²