Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57956 / 86307
↖ ↑ ↗
← S 49.444915°
W 20.819092°		 ← 198.58 m → S 49.444915°
W 20.816345°		 →
↑
198.52 m
↓
↑
198.52 m
↓
S 49.446700°
W 20.819092°		 ← 198.57 m →
39 422 m²		 S 49.446700°
W 20.816345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442173004150391 y=0.658473968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442173004150391 × 217)
    floor (0.442173004150391 × 131072)
    floor (57956.5)     		tx = 57956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658473968505859 × 217)
    floor (0.658473968505859 × 131072)
    floor (86307.5)     		ty = 86307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57956 / 86307 ti = "17/57956/86307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57956/86307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57956 ÷ 217
    57956 ÷ 131072     		x = 0.442169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86307 ÷ 217
    86307 ÷ 131072     		y = 0.658470153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.11566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36336170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658470153808594 × 2 - 1) × π
    -0.316940307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.995697342008186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36336170} λ = -0.36336170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995697342008186))-π/2
    2×atan(0.369465710729519)-π/2
    2×0.353909884686948-π/2
    0.707819769373896-1.57079632675     		φ = -0.86297656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36336170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.819092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86297656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.444915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57956 KachelY 86307 -0.36336170 -0.86297656 -20.819092 -49.444915
    Oben rechts KachelX + 1 57957 KachelY 86307 -0.36331376 -0.86297656 -20.816345 -49.444915
    Unten links KachelX 57956 KachelY + 1 86308 -0.36336170 -0.86300772 -20.819092 -49.446700
    Unten rechts KachelX + 1 57957 KachelY + 1 86308 -0.36331376 -0.86300772 -20.816345 -49.446700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86297656--0.86300772) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dl = 198.520360000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86297656--0.86300772) × R
    3.11600000000301e-05 × 6371000     		dr = 198.520360000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36336170--0.36331376) × cos(-0.86297656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650178817369711 × 6371000     		do = 198.581346427568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36336170--0.36331376) × cos(-0.86300772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65015514227119 × 6371000     		du = 198.574115443083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86297656)-sin(-0.86300772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650178817369711-0.65015514227119)×R²
    abs(-0.36331376--0.36336170)×2.36750985207479e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36750985207479e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36750985207479e-05×40589641000000     		ar = 39421.7226365585m²