Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57955 / 86175
↖ ↑ ↗
← S 49.208626°
W 20.821839°		 ← 199.54 m → S 49.208626°
W 20.819092°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
S 49.210420°
W 20.821839°		 ← 199.53 m →
39 802 m²		 S 49.210420°
W 20.819092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442165374755859 y=0.657466888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442165374755859 × 217)
    floor (0.442165374755859 × 131072)
    floor (57955.5)     		tx = 57955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657466888427734 × 217)
    floor (0.657466888427734 × 131072)
    floor (86175.5)     		ty = 86175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57955 / 86175 ti = "17/57955/86175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57955/86175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57955 ÷ 217
    57955 ÷ 131072     		x = 0.442161560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86175 ÷ 217
    86175 ÷ 131072     		y = 0.657463073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442161560058594 × 2 - 1) × π
    -0.115676879882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36340964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657463073730469 × 2 - 1) × π
    -0.314926147460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.989369671258339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36340964} λ = -0.36340964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989369671258339))-π/2
    2×atan(0.371810980322011)-π/2
    2×0.355971890335991-π/2
    0.711943780671982-1.57079632675     		φ = -0.85885255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36340964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.821839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85885255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.208626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57955 KachelY 86175 -0.36340964 -0.85885255 -20.821839 -49.208626
    Oben rechts KachelX + 1 57956 KachelY 86175 -0.36336170 -0.85885255 -20.819092 -49.208626
    Unten links KachelX 57955 KachelY + 1 86176 -0.36340964 -0.85888386 -20.821839 -49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 57956 KachelY + 1 86176 -0.36336170 -0.85888386 -20.819092 -49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85885255--0.85888386) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85885255--0.85888386) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36340964--0.36336170) × cos(-0.85885255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653306624908947 × 6371000     		do = 199.536659359587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36340964--0.36336170) × cos(-0.85888386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 199.529419268274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85885255)-sin(-0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653306624908947-0.653282919993597)×R²
    abs(-0.36336170--0.36340964)×2.37049153495317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37049153495317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37049153495317e-05×40589641000000     		ar = 39802.0545489362m²