Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57953 / 86177
↖ ↑ ↗
← S 49.212215°
W 20.827332°		 ← 199.52 m → S 49.212215°
W 20.824585°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
S 49.214009°
W 20.827332°		 ← 199.51 m →
39 799 m²		 S 49.214009°
W 20.824585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442150115966797 y=0.657482147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442150115966797 × 217)
    floor (0.442150115966797 × 131072)
    floor (57953.5)     		tx = 57953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657482147216797 × 217)
    floor (0.657482147216797 × 131072)
    floor (86177.5)     		ty = 86177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57953 / 86177 ti = "17/57953/86177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57953/86177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57953 ÷ 217
    57953 ÷ 131072     		x = 0.442146301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86177 ÷ 217
    86177 ÷ 131072     		y = 0.657478332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442146301269531 × 2 - 1) × π
    -0.115707397460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36350551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657478332519531 × 2 - 1) × π
    -0.314956665039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.989465545057579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36350551} λ = -0.36350551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989465545057579))-π/2
    2×atan(0.371775335099477)-π/2
    2×0.355940573978341-π/2
    0.711881147956681-1.57079632675     		φ = -0.85891518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36350551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.827332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85891518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.212215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57953 KachelY 86177 -0.36350551 -0.85891518 -20.827332 -49.212215
    Oben rechts KachelX + 1 57954 KachelY 86177 -0.36345757 -0.85891518 -20.824585 -49.212215
    Unten links KachelX 57953 KachelY + 1 86178 -0.36350551 -0.85894649 -20.827332 -49.214009
    Unten rechts KachelX + 1 57954 KachelY + 1 86178 -0.36345757 -0.85894649 -20.824585 -49.214009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85891518--0.85894649) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85891518--0.85894649) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36350551--0.36345757) × cos(-0.85891518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65325920686648 × 6371000     		do = 199.522176668877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36350551--0.36345757) × cos(-0.85894649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653235500670102 × 6371000     		du = 199.514936186306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85891518)-sin(-0.85894649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65325920686648-0.653235500670102)×R²
    abs(-0.36345757--0.36350551)×2.37061963784813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37061963784813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37061963784813e-05×40589641000000     		ar = 39799.165560396m²