Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57948 / 86802
↖ ↑ ↗
← S 50.320916°
W 20.841064°		 ← 194.97 m → S 50.320916°
W 20.838318°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
S 50.322669°
W 20.841064°		 ← 194.96 m →
38 022 m²		 S 50.322669°
W 20.838318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442111968994141 y=0.662250518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442111968994141 × 217)
    floor (0.442111968994141 × 131072)
    floor (57948.5)     		tx = 57948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662250518798828 × 217)
    floor (0.662250518798828 × 131072)
    floor (86802.5)     		ty = 86802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57948 / 86802 ti = "17/57948/86802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57948/86802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57948 ÷ 217
    57948 ÷ 131072     		x = 0.442108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86802 ÷ 217
    86802 ÷ 131072     		y = 0.662246704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.11578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36374519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662246704101562 × 2 - 1) × π
    -0.324493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01942610732011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36374519} λ = -0.36374519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01942610732011))-π/2
    2×atan(0.360801942362487)-π/2
    2×0.3462653338772-π/2
    0.6925306677544-1.57079632675     		φ = -0.87826566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36374519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.841064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87826566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.320916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57948 KachelY 86802 -0.36374519 -0.87826566 -20.841064 -50.320916
    Oben rechts KachelX + 1 57949 KachelY 86802 -0.36369726 -0.87826566 -20.838318 -50.320916
    Unten links KachelX 57948 KachelY + 1 86803 -0.36374519 -0.87829627 -20.841064 -50.322669
    Unten rechts KachelX + 1 57949 KachelY + 1 86803 -0.36369726 -0.87829627 -20.838318 -50.322669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87826566--0.87829627) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87826566--0.87829627) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36374519--0.36369726) × cos(-0.87826566) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638486908541232 × 6371000     		do = 194.969658520468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36374519--0.36369726) × cos(-0.87829627) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.638463349785669 × 6371000     		du = 194.962464571046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87826566)-sin(-0.87829627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638486908541232-0.638463349785669)×R²
    abs(-0.36369726--0.36374519)×2.35587555627026e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35587555627026e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35587555627026e-05×40589641000000     		ar = 38021.5619009601m²