Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57948 / 86677
↖ ↑ ↗
← S 50.101203°
W 20.841064°		 ← 195.87 m → S 50.101203°
W 20.838318°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
S 50.102965°
W 20.841064°		 ← 195.86 m →
38 372 m²		 S 50.102965°
W 20.838318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442111968994141 y=0.661296844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442111968994141 × 217)
    floor (0.442111968994141 × 131072)
    floor (57948.5)     		tx = 57948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661296844482422 × 217)
    floor (0.661296844482422 × 131072)
    floor (86677.5)     		ty = 86677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57948 / 86677 ti = "17/57948/86677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57948/86677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57948 ÷ 217
    57948 ÷ 131072     		x = 0.442108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86677 ÷ 217
    86677 ÷ 131072     		y = 0.661293029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.11578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36374519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661293029785156 × 2 - 1) × π
    -0.322586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.01343399486761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36374519} λ = -0.36374519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01343399486761))-π/2
    2×atan(0.362970398502453)-π/2
    2×0.348182689635325-π/2
    0.69636537927065-1.57079632675     		φ = -0.87443095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36374519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.841064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87443095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.101203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57948 KachelY 86677 -0.36374519 -0.87443095 -20.841064 -50.101203
    Oben rechts KachelX + 1 57949 KachelY 86677 -0.36369726 -0.87443095 -20.838318 -50.101203
    Unten links KachelX 57948 KachelY + 1 86678 -0.36374519 -0.87446170 -20.841064 -50.102965
    Unten rechts KachelX + 1 57949 KachelY + 1 86678 -0.36369726 -0.87446170 -20.838318 -50.102965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87443095--0.87446170) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87443095--0.87446170) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36374519--0.36369726) × cos(-0.87443095) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.641433524986574 × 6371000     		do = 195.869443299849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36374519--0.36369726) × cos(-0.87446170) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.641409933940794 × 6371000     		du = 195.86223949022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87443095)-sin(-0.87446170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641433524986574-0.641409933940794)×R²
    abs(-0.36369726--0.36374519)×2.35910457796473e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35910457796473e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35910457796473e-05×40589641000000     		ar = 38371.7342255676m²