Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57946 / 86683
↖ ↑ ↗
← S 50.111772°
W 20.846558°		 ← 195.87 m → S 50.111772°
W 20.843811°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
S 50.113534°
W 20.846558°		 ← 195.86 m →
38 359 m²		 S 50.113534°
W 20.843811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442096710205078 y=0.661342620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442096710205078 × 217)
    floor (0.442096710205078 × 131072)
    floor (57946.5)     		tx = 57946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661342620849609 × 217)
    floor (0.661342620849609 × 131072)
    floor (86683.5)     		ty = 86683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57946 / 86683 ti = "17/57946/86683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57946/86683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57946 ÷ 217
    57946 ÷ 131072     		x = 0.442092895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86683 ÷ 217
    86683 ÷ 131072     		y = 0.661338806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442092895507812 × 2 - 1) × π
    -0.115814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36384107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661338806152344 × 2 - 1) × π
    -0.322677612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.01372161626533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36384107} λ = -0.36384107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01372161626533))-π/2
    2×atan(0.362866015461223)-π/2
    2×0.348090454808578-π/2
    0.696180909617156-1.57079632675     		φ = -0.87461542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36384107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.846558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87461542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.111772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57946 KachelY 86683 -0.36384107 -0.87461542 -20.846558 -50.111772
    Oben rechts KachelX + 1 57947 KachelY 86683 -0.36379313 -0.87461542 -20.843811 -50.111772
    Unten links KachelX 57946 KachelY + 1 86684 -0.36384107 -0.87464616 -20.846558 -50.113534
    Unten rechts KachelX + 1 57947 KachelY + 1 86684 -0.36379313 -0.87464616 -20.843811 -50.113534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87461542--0.87464616) × R
    3.07399999999181e-05 × 6371000     		dl = 195.844539999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87461542--0.87464616) × R
    3.07399999999181e-05 × 6371000     		dr = 195.844539999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36384107--0.36379313) × cos(-0.87461542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641291992633852 × 6371000     		do = 195.86708140614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36384107--0.36379313) × cos(-0.87464616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641268405623206 × 6371000     		du = 195.859877325959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87461542)-sin(-0.87464616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641291992633852-0.641268405623206)×R²
    abs(-0.36379313--0.36384107)×2.35870106460867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35870106460867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35870106460867e-05×40589641000000     		ar = 38358.793022148m²