Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57944 / 81612
↖ ↑ ↗
← S 40.338171°
W 20.852051°		 ← 232.76 m → S 40.338171°
W 20.849304°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 40.340264°
W 20.852051°		 ← 232.75 m →
54 184 m²		 S 40.340264°
W 20.849304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442081451416016 y=0.622653961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442081451416016 × 217)
    floor (0.442081451416016 × 131072)
    floor (57944.5)     		tx = 57944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622653961181641 × 217)
    floor (0.622653961181641 × 131072)
    floor (81612.5)     		ty = 81612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57944 / 81612 ti = "17/57944/81612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57944/81612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57944 ÷ 217
    57944 ÷ 131072     		x = 0.44207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81612 ÷ 217
    81612 ÷ 131072     		y = 0.622650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.24530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.770633598292023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36393694} λ = -0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770633598292023))-π/2
    2×atan(0.462719796939893)-π/2
    2×0.43338121909563-π/2
    0.866762438191259-1.57079632675     		φ = -0.70403389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70403389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.338171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57944 KachelY 81612 -0.36393694 -0.70403389 -20.852051 -40.338171
    Oben rechts KachelX + 1 57945 KachelY 81612 -0.36388901 -0.70403389 -20.849304 -40.338171
    Unten links KachelX 57944 KachelY + 1 81613 -0.36393694 -0.70407043 -20.852051 -40.340264
    Unten rechts KachelX + 1 57945 KachelY + 1 81613 -0.36388901 -0.70407043 -20.849304 -40.340264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70403389--0.70407043) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70403389--0.70407043) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36393694--0.36388901) × cos(-0.70403389) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762237268195621 × 6371000     		do = 232.758319557742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36393694--0.36388901) × cos(-0.70407043) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.762213615427835 × 6371000     		du = 232.751096900556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70403389)-sin(-0.70407043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762237268195621-0.762213615427835)×R²
    abs(-0.36388901--0.36393694)×2.36527677867082e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36527677867082e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36527677867082e-05×40589641000000     		ar = 54184.4441994542m²