Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57943 / 44343
↖ ↑ ↗
← N 50.192726°
W 20.854797°		 ← 195.54 m → N 50.192726°
W 20.852051°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 50.190968°
W 20.854797°		 ← 195.54 m →
38 233 m²		 N 50.190968°
W 20.852051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442073822021484 y=0.338314056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442073822021484 × 217)
    floor (0.442073822021484 × 131072)
    floor (57943.5)     		tx = 57943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338314056396484 × 217)
    floor (0.338314056396484 × 131072)
    floor (44343.5)     		ty = 44343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57943 / 44343 ti = "17/57943/44343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57943/44343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57943 ÷ 217
    57943 ÷ 131072     		x = 0.442070007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44343 ÷ 217
    44343 ÷ 131072     		y = 0.338310241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442070007324219 × 2 - 1) × π
    -0.115859985351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36398488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338310241699219 × 2 - 1) × π
    0.323379516601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.01592671364785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36398488} λ = -0.36398488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01592671364785))-π/2
    2×atan(2.76192172233024)-π/2
    2×1.22341232958145-π/2
    2.44682465916289-1.57079632675     		φ = 0.87602833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36398488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.854797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87602833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.192726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57943 KachelY 44343 -0.36398488 0.87602833 -20.854797 50.192726
    Oben rechts KachelX + 1 57944 KachelY 44343 -0.36393694 0.87602833 -20.852051 50.192726
    Unten links KachelX 57943 KachelY + 1 44344 -0.36398488 0.87599764 -20.854797 50.190968
    Unten rechts KachelX + 1 57944 KachelY + 1 44344 -0.36393694 0.87599764 -20.852051 50.190968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87602833-0.87599764) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87602833-0.87599764) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36398488--0.36393694) × cos(0.87602833) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640207231377709 × 6371000     		do = 195.535767396986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36398488--0.36393694) × cos(0.87599764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64023080720334 × 6371000     		du = 195.542968060976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87602833)-sin(0.87599764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640207231377709-0.64023080720334)×R²
    abs(-0.36393694--0.36398488)×2.35758256303953e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35758256303953e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35758256303953e-05×40589641000000     		ar = 38233.0284621208m²