Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57942 / 84472
↖ ↑ ↗
← S 46.057985°
W 20.857544°		 ← 211.94 m → S 46.057985°
W 20.854797°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 46.059891°
W 20.857544°		 ← 211.94 m →
44 910 m²		 S 46.059891°
W 20.854797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442066192626953 y=0.644474029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442066192626953 × 217)
    floor (0.442066192626953 × 131072)
    floor (57942.5)     		tx = 57942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644474029541016 × 217)
    floor (0.644474029541016 × 131072)
    floor (84472.5)     		ty = 84472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57942 / 84472 ti = "17/57942/84472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57942/84472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57942 ÷ 217
    57942 ÷ 131072     		x = 0.442062377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84472 ÷ 217
    84472 ÷ 131072     		y = 0.64447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442062377929688 × 2 - 1) × π
    -0.115875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36403282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.2889404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.907733131205383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36403282} λ = -0.36403282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907733131205383))-π/2
    2×atan(0.403437728642536)-π/2
    2×0.383466418728148-π/2
    0.766932837456296-1.57079632675     		φ = -0.80386349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36403282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.857544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80386349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.057985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57942 KachelY 84472 -0.36403282 -0.80386349 -20.857544 -46.057985
    Oben rechts KachelX + 1 57943 KachelY 84472 -0.36398488 -0.80386349 -20.854797 -46.057985
    Unten links KachelX 57942 KachelY + 1 84473 -0.36403282 -0.80389675 -20.857544 -46.059891
    Unten rechts KachelX + 1 57943 KachelY + 1 84473 -0.36398488 -0.80389675 -20.854797 -46.059891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80386349--0.80389675) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dl = 211.899460000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80386349--0.80389675) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dr = 211.899460000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36403282--0.36398488) × cos(-0.80386349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693930018449317 × 6371000     		do = 211.944089392957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36403282--0.36398488) × cos(-0.80389675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69390606945362 × 6371000     		du = 211.936774753224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80386349)-sin(-0.80389675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693930018449317-0.69390606945362)×R²
    abs(-0.36398488--0.36403282)×2.39489956977978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39489956977978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39489956977978e-05×40589641000000     		ar = 44910.0631125833m²