Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57941 / 44341
↖ ↑ ↗
← N 50.196243°
W 20.860290°		 ← 195.48 m → N 50.196243°
W 20.857544°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 50.194484°
W 20.860290°		 ← 195.49 m →
38 222 m²		 N 50.194484°
W 20.857544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442058563232422 y=0.338298797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442058563232422 × 217)
    floor (0.442058563232422 × 131072)
    floor (57941.5)     		tx = 57941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338298797607422 × 217)
    floor (0.338298797607422 × 131072)
    floor (44341.5)     		ty = 44341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57941 / 44341 ti = "17/57941/44341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57941/44341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57941 ÷ 217
    57941 ÷ 131072     		x = 0.442054748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44341 ÷ 217
    44341 ÷ 131072     		y = 0.338294982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442054748535156 × 2 - 1) × π
    -0.115890502929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.36408075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338294982910156 × 2 - 1) × π
    0.323410034179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01602258744709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36408075} λ = -0.36408075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01602258744709))-π/2
    2×atan(2.76218653095287)-π/2
    2×1.223443018001-π/2
    2.44688603600201-1.57079632675     		φ = 0.87608971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36408075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.860290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87608971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.196243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57941 KachelY 44341 -0.36408075 0.87608971 -20.860290 50.196243
    Oben rechts KachelX + 1 57942 KachelY 44341 -0.36403282 0.87608971 -20.857544 50.196243
    Unten links KachelX 57941 KachelY + 1 44342 -0.36408075 0.87605902 -20.860290 50.194484
    Unten rechts KachelX + 1 57942 KachelY + 1 44342 -0.36403282 0.87605902 -20.857544 50.194484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87608971-0.87605902) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87608971-0.87605902) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36408075--0.36403282) × cos(0.87608971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640160077917483 × 6371000     		do = 195.48058091796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36408075--0.36403282) × cos(0.87605902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640183654949083 × 6371000     		du = 195.487780448191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87608971)-sin(0.87605902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640160077917483-0.640183654949083)×R²
    abs(-0.36403282--0.36408075)×2.35770316001638e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35770316001638e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35770316001638e-05×40589641000000     		ar = 38222.2379603112m²