Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57940 / 84613
↖ ↑ ↗
← S 46.326068°
W 20.863037°		 ← 210.91 m → S 46.326068°
W 20.860290°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 46.327965°
W 20.863037°		 ← 210.91 m →
44 477 m²		 S 46.327965°
W 20.860290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442050933837891 y=0.645549774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442050933837891 × 217)
    floor (0.442050933837891 × 131072)
    floor (57940.5)     		tx = 57940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645549774169922 × 217)
    floor (0.645549774169922 × 131072)
    floor (84613.5)     		ty = 84613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57940 / 84613 ti = "17/57940/84613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57940/84613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57940 ÷ 217
    57940 ÷ 131072     		x = 0.442047119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84613 ÷ 217
    84613 ÷ 131072     		y = 0.645545959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442047119140625 × 2 - 1) × π
    -0.11590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36412869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645545959472656 × 2 - 1) × π
    -0.291091918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.914492234051811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36412869} λ = -0.36412869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914492234051811))-π/2
    2×atan(0.400720046435823)-π/2
    2×0.381126952634875-π/2
    0.762253905269751-1.57079632675     		φ = -0.80854242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36412869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.863037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80854242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.326068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57940 KachelY 84613 -0.36412869 -0.80854242 -20.863037 -46.326068
    Oben rechts KachelX + 1 57941 KachelY 84613 -0.36408075 -0.80854242 -20.860290 -46.326068
    Unten links KachelX 57940 KachelY + 1 84614 -0.36412869 -0.80857552 -20.863037 -46.327965
    Unten rechts KachelX + 1 57941 KachelY + 1 84614 -0.36408075 -0.80857552 -20.860290 -46.327965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80854242--0.80857552) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80854242--0.80857552) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36412869--0.36408075) × cos(-0.80854242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690553406644367 × 6371000     		do = 210.912785233738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36412869--0.36408075) × cos(-0.80857552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690529465651537 × 6371000     		du = 210.905473038287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80854242)-sin(-0.80857552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690553406644367-0.690529465651537)×R²
    abs(-0.36408075--0.36412869)×2.39409928298739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39409928298739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39409928298739e-05×40589641000000     		ar = 44476.5382471743m²