Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57939 / 84566
↖ ↑ ↗
← S 46.236852°
W 20.865784°		 ← 211.26 m → S 46.236852°
W 20.863037°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
S 46.238752°
W 20.865784°		 ← 211.25 m →
44 630 m²		 S 46.238752°
W 20.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442043304443359 y=0.645191192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442043304443359 × 217)
    floor (0.442043304443359 × 131072)
    floor (57939.5)     		tx = 57939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645191192626953 × 217)
    floor (0.645191192626953 × 131072)
    floor (84566.5)     		ty = 84566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57939 / 84566 ti = "17/57939/84566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57939/84566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57939 ÷ 217
    57939 ÷ 131072     		x = 0.442039489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84566 ÷ 217
    84566 ÷ 131072     		y = 0.645187377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442039489746094 × 2 - 1) × π
    -0.115921020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36417663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645187377929688 × 2 - 1) × π
    -0.290374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.912239199769669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36417663} λ = -0.36417663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912239199769669))-π/2
    2×atan(0.401623900262471)-π/2
    2×0.381905506753782-π/2
    0.763811013507565-1.57079632675     		φ = -0.80698531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36417663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.865784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80698531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.236852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57939 KachelY 84566 -0.36417663 -0.80698531 -20.865784 -46.236852
    Oben rechts KachelX + 1 57940 KachelY 84566 -0.36412869 -0.80698531 -20.863037 -46.236852
    Unten links KachelX 57939 KachelY + 1 84567 -0.36417663 -0.80701847 -20.865784 -46.238752
    Unten rechts KachelX + 1 57940 KachelY + 1 84567 -0.36412869 -0.80701847 -20.863037 -46.238752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80698531--0.80701847) × R
    3.31600000000876e-05 × 6371000     		dl = 211.262360000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80698531--0.80701847) × R
    3.31600000000876e-05 × 6371000     		dr = 211.262360000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36417663--0.36412869) × cos(-0.80698531) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691678797744878 × 6371000     		do = 211.256508643646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36417663--0.36412869) × cos(-0.80701847) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691654849038107 × 6371000     		du = 211.249194092158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80698531)-sin(-0.80701847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691678797744878-0.691654849038107)×R²
    abs(-0.36412869--0.36417663)×2.39487067703603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39487067703603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39487067703603e-05×40589641000000     		ar = 44629.7759409553m²