Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57939 / 44342
↖ ↑ ↗
← N 50.194484°
W 20.865784°		 ← 195.53 m → N 50.194484°
W 20.863037°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 50.192726°
W 20.865784°		 ← 195.54 m →
38 232 m²		 N 50.192726°
W 20.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442043304443359 y=0.338306427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442043304443359 × 217)
    floor (0.442043304443359 × 131072)
    floor (57939.5)     		tx = 57939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338306427001953 × 217)
    floor (0.338306427001953 × 131072)
    floor (44342.5)     		ty = 44342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57939 / 44342 ti = "17/57939/44342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57939/44342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57939 ÷ 217
    57939 ÷ 131072     		x = 0.442039489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44342 ÷ 217
    44342 ÷ 131072     		y = 0.338302612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442039489746094 × 2 - 1) × π
    -0.115921020507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36417663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338302612304688 × 2 - 1) × π
    0.323394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01597465054747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36417663} λ = -0.36417663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01597465054747))-π/2
    2×atan(2.76205412346803)-π/2
    2×1.22342767407376-π/2
    2.44685534814752-1.57079632675     		φ = 0.87605902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36417663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.865784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87605902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.194484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57939 KachelY 44342 -0.36417663 0.87605902 -20.865784 50.194484
    Oben rechts KachelX + 1 57940 KachelY 44342 -0.36412869 0.87605902 -20.863037 50.194484
    Unten links KachelX 57939 KachelY + 1 44343 -0.36417663 0.87602833 -20.865784 50.192726
    Unten rechts KachelX + 1 57940 KachelY + 1 44343 -0.36412869 0.87602833 -20.863037 50.192726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87605902-0.87602833) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87605902-0.87602833) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36417663--0.36412869) × cos(0.87605902) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640183654949083 × 6371000     		do = 195.528566548826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36417663--0.36412869) × cos(0.87602833) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640207231377709 × 6371000     		du = 195.535767396986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87605902)-sin(0.87602833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640183654949083-0.640207231377709)×R²
    abs(-0.36412869--0.36417663)×2.35764286263818e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35764286263818e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35764286263818e-05×40589641000000     		ar = 38231.6205271831m²