Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57937 / 38545
↖ ↑ ↗
← N 59.331788°
W 20.871277°		 ← 155.79 m → N 59.331788°
W 20.868530°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 59.330388°
W 20.871277°		 ← 155.79 m →
24 268 m²		 N 59.330388°
W 20.868530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442028045654297 y=0.294078826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442028045654297 × 217)
    floor (0.442028045654297 × 131072)
    floor (57937.5)     		tx = 57937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294078826904297 × 217)
    floor (0.294078826904297 × 131072)
    floor (38545.5)     		ty = 38545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57937 / 38545 ti = "17/57937/38545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57937/38545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57937 ÷ 217
    57937 ÷ 131072     		x = 0.442024230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38545 ÷ 217
    38545 ÷ 131072     		y = 0.294075012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442024230957031 × 2 - 1) × π
    -0.115951538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36427250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294075012207031 × 2 - 1) × π
    0.411849975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.29386485764494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36427250} λ = -0.36427250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29386485764494))-π/2
    2×atan(3.64685392532515)-π/2
    2×1.30316569375574-π/2
    2.60633138751149-1.57079632675     		φ = 1.03553506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36427250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.871277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03553506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.331788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57937 KachelY 38545 -0.36427250 1.03553506 -20.871277 59.331788
    Oben rechts KachelX + 1 57938 KachelY 38545 -0.36422456 1.03553506 -20.868530 59.331788
    Unten links KachelX 57937 KachelY + 1 38546 -0.36427250 1.03551061 -20.871277 59.330388
    Unten rechts KachelX + 1 57938 KachelY + 1 38546 -0.36422456 1.03551061 -20.868530 59.330388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03553506-1.03551061) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03553506-1.03551061) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36427250--0.36422456) × cos(1.03553506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510065781652699 × 6371000     		do = 155.787218810032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36427250--0.36422456) × cos(1.03551061) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510086811810654 × 6371000     		du = 155.793641961588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03553506)-sin(1.03551061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510065781652699-0.510086811810654)×R²
    abs(-0.36422456--0.36427250)×2.1030157955626e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1030157955626e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1030157955626e-05×40589641000000     		ar = 24267.6233432548m²