Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57936 / 38544
↖ ↑ ↗
← N 59.333189°
W 20.874024°		 ← 155.78 m → N 59.333189°
W 20.871277°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 59.331788°
W 20.874024°		 ← 155.79 m →
24 267 m²		 N 59.331788°
W 20.871277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442020416259766 y=0.294071197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442020416259766 × 217)
    floor (0.442020416259766 × 131072)
    floor (57936.5)     		tx = 57936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294071197509766 × 217)
    floor (0.294071197509766 × 131072)
    floor (38544.5)     		ty = 38544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57936 / 38544 ti = "17/57936/38544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57936/38544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57936 ÷ 217
    57936 ÷ 131072     		x = 0.4420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38544 ÷ 217
    38544 ÷ 131072     		y = 0.2940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36432044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2940673828125 × 2 - 1) × π
    0.411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29391279454456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36432044} λ = -0.36432044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29391279454456))-π/2
    2×atan(3.6470287483859)-π/2
    2×1.30317791898978-π/2
    2.60635583797955-1.57079632675     		φ = 1.03555951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36432044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.874024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03555951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.333189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57936 KachelY 38544 -0.36432044 1.03555951 -20.874024 59.333189
    Oben rechts KachelX + 1 57937 KachelY 38544 -0.36427250 1.03555951 -20.871277 59.333189
    Unten links KachelX 57936 KachelY + 1 38545 -0.36432044 1.03553506 -20.874024 59.331788
    Unten rechts KachelX + 1 57937 KachelY + 1 38545 -0.36427250 1.03553506 -20.871277 59.331788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03555951-1.03553506) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03555951-1.03553506) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36432044--0.36427250) × cos(1.03555951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510044751189825 × 6371000     		do = 155.780795565346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36432044--0.36427250) × cos(1.03553506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510065781652699 × 6371000     		du = 155.787218810032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03555951)-sin(1.03553506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510044751189825-0.510065781652699)×R²
    abs(-0.36427250--0.36432044)×2.10304628742719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10304628742719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10304628742719e-05×40589641000000     		ar = 24266.6227954949m²