Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57935 / 38543
↖ ↑ ↗
← N 59.334590°
W 20.876770°		 ← 155.74 m → N 59.334590°
W 20.874024°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 59.333189°
W 20.876770°		 ← 155.75 m →
24 261 m²		 N 59.333189°
W 20.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442012786865234 y=0.294063568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442012786865234 × 217)
    floor (0.442012786865234 × 131072)
    floor (57935.5)     		tx = 57935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294063568115234 × 217)
    floor (0.294063568115234 × 131072)
    floor (38543.5)     		ty = 38543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57935 / 38543 ti = "17/57935/38543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57935/38543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57935 ÷ 217
    57935 ÷ 131072     		x = 0.442008972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38543 ÷ 217
    38543 ÷ 131072     		y = 0.294059753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442008972167969 × 2 - 1) × π
    -0.115982055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36436837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294059753417969 × 2 - 1) × π
    0.411880493164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.29396073144418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36436837} λ = -0.36436837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29396073144418))-π/2
    2×atan(3.64720357982733)-π/2
    2×1.30319014371974-π/2
    2.60638028743948-1.57079632675     		φ = 1.03558396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36436837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.876770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03558396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.334590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57935 KachelY 38543 -0.36436837 1.03558396 -20.876770 59.334590
    Oben rechts KachelX + 1 57936 KachelY 38543 -0.36432044 1.03558396 -20.874024 59.334590
    Unten links KachelX 57935 KachelY + 1 38544 -0.36436837 1.03555951 -20.876770 59.333189
    Unten rechts KachelX + 1 57936 KachelY + 1 38544 -0.36432044 1.03555951 -20.874024 59.333189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03558396-1.03555951) × R
    2.44500000001757e-05 × 6371000     		dl = 155.77095000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03558396-1.03555951) × R
    2.44500000001757e-05 × 6371000     		dr = 155.77095000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36436837--0.36432044) × cos(1.03558396) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.510023720422044 × 6371000     		do = 155.741878616143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36436837--0.36432044) × cos(1.03555951) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.510044751189825 × 6371000     		du = 155.748300614085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03558396)-sin(1.03555951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510023720422044-0.510044751189825)×R²
    abs(-0.36432044--0.36436837)×2.10307677803723e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10307677803723e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10307677803723e-05×40589641000000     		ar = 24260.5605686207m²