Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57933 / 81578
↖ ↑ ↗
← S 40.266952°
W 20.882263°		 ← 233.05 m → S 40.266952°
W 20.879517°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
S 40.269048°
W 20.882263°		 ← 233.05 m →
54 297 m²		 S 40.269048°
W 20.879517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441997528076172 y=0.622394561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441997528076172 × 217)
    floor (0.441997528076172 × 131072)
    floor (57933.5)     		tx = 57933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622394561767578 × 217)
    floor (0.622394561767578 × 131072)
    floor (81578.5)     		ty = 81578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57933 / 81578 ti = "17/57933/81578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57933/81578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57933 ÷ 217
    57933 ÷ 131072     		x = 0.441993713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81578 ÷ 217
    81578 ÷ 131072     		y = 0.622390747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441993713378906 × 2 - 1) × π
    -0.116012573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36446425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622390747070312 × 2 - 1) × π
    -0.244781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.769003743704941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36446425} λ = -0.36446425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769003743704941))-π/2
    2×atan(0.463474577847947)-π/2
    2×0.434002714672096-π/2
    0.868005429344191-1.57079632675     		φ = -0.70279090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36446425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.882263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70279090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.266952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57933 KachelY 81578 -0.36446425 -0.70279090 -20.882263 -40.266952
    Oben rechts KachelX + 1 57934 KachelY 81578 -0.36441631 -0.70279090 -20.879517 -40.266952
    Unten links KachelX 57933 KachelY + 1 81579 -0.36446425 -0.70282747 -20.882263 -40.269048
    Unten rechts KachelX + 1 57934 KachelY + 1 81579 -0.36441631 -0.70282747 -20.879517 -40.269048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70279090--0.70282747) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70279090--0.70282747) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36446425--0.36441631) × cos(-0.70279090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763041263752318 × 6371000     		do = 233.052442631934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36446425--0.36441631) × cos(-0.70282747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.763017626230871 × 6371000     		du = 233.045223124454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70279090)-sin(-0.70282747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763041263752318-0.763017626230871)×R²
    abs(-0.36441631--0.36446425)×2.3637521446962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3637521446962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3637521446962e-05×40589641000000     		ar = 54297.4579647123m²