Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57932 / 84420
↖ ↑ ↗
← S 45.958787°
W 20.885009°		 ← 212.28 m → S 45.958787°
W 20.882263°		 →
↑
212.35 m
↓
↑
212.35 m
↓
S 45.960697°
W 20.885009°		 ← 212.27 m →
45 076 m²		 S 45.960697°
W 20.882263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441989898681641 y=0.644077301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441989898681641 × 217)
    floor (0.441989898681641 × 131072)
    floor (57932.5)     		tx = 57932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644077301025391 × 217)
    floor (0.644077301025391 × 131072)
    floor (84420.5)     		ty = 84420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57932 / 84420 ti = "17/57932/84420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57932/84420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57932 ÷ 217
    57932 ÷ 131072     		x = 0.441986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84420 ÷ 217
    84420 ÷ 131072     		y = 0.644073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.11602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36451218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.28814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.90524041242514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36451218} λ = -0.36451218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90524041242514))-π/2
    2×atan(0.404444639897297)-π/2
    2×0.384332081131894-π/2
    0.768664162263789-1.57079632675     		φ = -0.80213216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36451218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.885009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80213216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.958787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57932 KachelY 84420 -0.36451218 -0.80213216 -20.885009 -45.958787
    Oben rechts KachelX + 1 57933 KachelY 84420 -0.36446425 -0.80213216 -20.882263 -45.958787
    Unten links KachelX 57932 KachelY + 1 84421 -0.36451218 -0.80216549 -20.885009 -45.960697
    Unten rechts KachelX + 1 57933 KachelY + 1 84421 -0.36446425 -0.80216549 -20.882263 -45.960697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80213216--0.80216549) × R
    3.33300000000536e-05 × 6371000     		dl = 212.345430000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80213216--0.80216549) × R
    3.33300000000536e-05 × 6371000     		dr = 212.345430000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36451218--0.36446425) × cos(-0.80213216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695175608892516 × 6371000     		do = 212.280235138035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36451218--0.36446425) × cos(-0.80216549) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695151649570877 × 6371000     		du = 212.272918870942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80213216)-sin(-0.80216549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695175608892516-0.695151649570877)×R²
    abs(-0.36446425--0.36451218)×2.39593216392331e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39593216392331e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39593216392331e-05×40589641000000     		ar = 45075.9610272194m²