Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57930 / 84425
↖ ↑ ↗
← S 45.968333°
W 20.890503°		 ← 212.29 m → S 45.968333°
W 20.887756°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.970243°
W 20.890503°		 ← 212.28 m →
45 064 m²		 S 45.970243°
W 20.887756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441974639892578 y=0.644115447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441974639892578 × 217)
    floor (0.441974639892578 × 131072)
    floor (57930.5)     		tx = 57930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644115447998047 × 217)
    floor (0.644115447998047 × 131072)
    floor (84425.5)     		ty = 84425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57930 / 84425 ti = "17/57930/84425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57930/84425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57930 ÷ 217
    57930 ÷ 131072     		x = 0.441970825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84425 ÷ 217
    84425 ÷ 131072     		y = 0.644111633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441970825195312 × 2 - 1) × π
    -0.116058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36460806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644111633300781 × 2 - 1) × π
    -0.288223266601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.905480096923241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36460806} λ = -0.36460806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905480096923241))-π/2
    2×atan(0.404347712403246)-π/2
    2×0.384248776900864-π/2
    0.768497553801729-1.57079632675     		φ = -0.80229877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36460806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.890503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80229877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.968333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57930 KachelY 84425 -0.36460806 -0.80229877 -20.890503 -45.968333
    Oben rechts KachelX + 1 57931 KachelY 84425 -0.36456012 -0.80229877 -20.887756 -45.968333
    Unten links KachelX 57930 KachelY + 1 84426 -0.36460806 -0.80233209 -20.890503 -45.970243
    Unten rechts KachelX + 1 57931 KachelY + 1 84426 -0.36456012 -0.80233209 -20.887756 -45.970243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80229877--0.80233209) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80229877--0.80233209) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36460806--0.36456012) × cos(-0.80229877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.695055833320455 × 6371000     		do = 212.287942233323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36460806--0.36456012) × cos(-0.80233209) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.695031877328616 × 6371000     		du = 212.280625456788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80229877)-sin(-0.80233209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695055833320455-0.695031877328616)×R²
    abs(-0.36456012--0.36460806)×2.39559918384646e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39559918384646e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39559918384646e-05×40589641000000     		ar = 45064.0729078224m²