Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57923 / 86717
↖ ↑ ↗
← S 50.171621°
W 20.909729°		 ← 195.62 m → S 50.171621°
W 20.906982°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
S 50.173380°
W 20.909729°		 ← 195.61 m →
38 261 m²		 S 50.173380°
W 20.906982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441921234130859 y=0.661602020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441921234130859 × 217)
    floor (0.441921234130859 × 131072)
    floor (57923.5)     		tx = 57923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661602020263672 × 217)
    floor (0.661602020263672 × 131072)
    floor (86717.5)     		ty = 86717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57923 / 86717 ti = "17/57923/86717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57923/86717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57923 ÷ 217
    57923 ÷ 131072     		x = 0.441917419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86717 ÷ 217
    86717 ÷ 131072     		y = 0.661598205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441917419433594 × 2 - 1) × π
    -0.116165161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36494362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661598205566406 × 2 - 1) × π
    -0.323196411132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.01535147085241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36494362} λ = -0.36494362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01535147085241))-π/2
    2×atan(0.362275078323045)-π/2
    2×0.34756817519887-π/2
    0.69513635039774-1.57079632675     		φ = -0.87565998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36494362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.909729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87565998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.171621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57923 KachelY 86717 -0.36494362 -0.87565998 -20.909729 -50.171621
    Oben rechts KachelX + 1 57924 KachelY 86717 -0.36489568 -0.87565998 -20.906982 -50.171621
    Unten links KachelX 57923 KachelY + 1 86718 -0.36494362 -0.87569068 -20.909729 -50.173380
    Unten rechts KachelX + 1 57924 KachelY + 1 86718 -0.36489568 -0.87569068 -20.906982 -50.173380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87565998--0.87569068) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87565998--0.87569068) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36494362--0.36489568) × cos(-0.87565998) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640490155238844 × 6371000     		do = 195.622179626637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36494362--0.36489568) × cos(-0.87569068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640466578369149 × 6371000     		du = 195.614978643764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87565998)-sin(-0.87569068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640490155238844-0.640466578369149)×R²
    abs(-0.36489568--0.36494362)×2.35768696946748e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35768696946748e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35768696946748e-05×40589641000000     		ar = 38260.9792104292m²