Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57923 / 84419
↖ ↑ ↗
← S 45.956878°
W 20.909729°		 ← 212.33 m → S 45.956878°
W 20.906982°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.958787°
W 20.909729°		 ← 212.32 m →
45 073 m²		 S 45.958787°
W 20.906982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441921234130859 y=0.644069671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441921234130859 × 217)
    floor (0.441921234130859 × 131072)
    floor (57923.5)     		tx = 57923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644069671630859 × 217)
    floor (0.644069671630859 × 131072)
    floor (84419.5)     		ty = 84419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57923 / 84419 ti = "17/57923/84419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57923/84419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57923 ÷ 217
    57923 ÷ 131072     		x = 0.441917419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84419 ÷ 217
    84419 ÷ 131072     		y = 0.644065856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441917419433594 × 2 - 1) × π
    -0.116165161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36494362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644065856933594 × 2 - 1) × π
    -0.288131713867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.90519247552552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36494362} λ = -0.36494362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90519247552552))-π/2
    2×atan(0.404464028184105)-π/2
    2×0.38434874370059-π/2
    0.768697487401179-1.57079632675     		φ = -0.80209884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36494362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.909729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80209884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.956878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57923 KachelY 84419 -0.36494362 -0.80209884 -20.909729 -45.956878
    Oben rechts KachelX + 1 57924 KachelY 84419 -0.36489568 -0.80209884 -20.906982 -45.956878
    Unten links KachelX 57923 KachelY + 1 84420 -0.36494362 -0.80213216 -20.909729 -45.958787
    Unten rechts KachelX + 1 57924 KachelY + 1 84420 -0.36489568 -0.80213216 -20.906982 -45.958787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80209884--0.80213216) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80209884--0.80213216) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36494362--0.36489568) × cos(-0.80209884) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.695199560253725 × 6371000     		do = 212.331840138275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36494362--0.36489568) × cos(-0.80213216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.695175608892516 × 6371000     		du = 212.324524776054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80209884)-sin(-0.80213216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695199560253725-0.695175608892516)×R²
    abs(-0.36489568--0.36494362)×2.39513612086961e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39513612086961e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39513612086961e-05×40589641000000     		ar = 45073.3917805513m²