Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57922 / 86715
↖ ↑ ↗
← S 50.168103°
W 20.912475°		 ← 195.60 m → S 50.168103°
W 20.909729°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
S 50.169862°
W 20.912475°		 ← 195.59 m →
38 256 m²		 S 50.169862°
W 20.909729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441913604736328 y=0.661586761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441913604736328 × 217)
    floor (0.441913604736328 × 131072)
    floor (57922.5)     		tx = 57922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661586761474609 × 217)
    floor (0.661586761474609 × 131072)
    floor (86715.5)     		ty = 86715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57922 / 86715 ti = "17/57922/86715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57922/86715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57922 ÷ 217
    57922 ÷ 131072     		x = 0.441909790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86715 ÷ 217
    86715 ÷ 131072     		y = 0.661582946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441909790039062 × 2 - 1) × π
    -0.116180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36499155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661582946777344 × 2 - 1) × π
    -0.323165893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.01525559705317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36499155} λ = -0.36499155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01525559705317))-π/2
    2×atan(0.362309812676204)-π/2
    2×0.347598879441593-π/2
    0.695197758883185-1.57079632675     		φ = -0.87559857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36499155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.912475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87559857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.168103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57922 KachelY 86715 -0.36499155 -0.87559857 -20.912475 -50.168103
    Oben rechts KachelX + 1 57923 KachelY 86715 -0.36494362 -0.87559857 -20.909729 -50.168103
    Unten links KachelX 57922 KachelY + 1 86716 -0.36499155 -0.87562927 -20.912475 -50.169862
    Unten rechts KachelX + 1 57923 KachelY + 1 86716 -0.36494362 -0.87562927 -20.909729 -50.169862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87559857--0.87562927) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87559857--0.87562927) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36499155--0.36494362) × cos(-0.87559857) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640537314846515 × 6371000     		do = 195.595774752174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36499155--0.36494362) × cos(-0.87562927) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64051373918435 × 6371000     		du = 195.588575640117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87559857)-sin(-0.87562927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640537314846515-0.64051373918435)×R²
    abs(-0.36494362--0.36499155)×2.35756621648209e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35756621648209e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35756621648209e-05×40589641000000     		ar = 38255.8148719891m²