Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57921 / 84417
↖ ↑ ↗
← S 45.953060°
W 20.915222°		 ← 212.35 m → S 45.953060°
W 20.912475°		 →
↑
212.28 m
↓
↑
212.28 m
↓
S 45.954969°
W 20.915222°		 ← 212.34 m →
45 076 m²		 S 45.954969°
W 20.912475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441905975341797 y=0.644054412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441905975341797 × 217)
    floor (0.441905975341797 × 131072)
    floor (57921.5)     		tx = 57921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644054412841797 × 217)
    floor (0.644054412841797 × 131072)
    floor (84417.5)     		ty = 84417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57921 / 84417 ti = "17/57921/84417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57921/84417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57921 ÷ 217
    57921 ÷ 131072     		x = 0.441902160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84417 ÷ 217
    84417 ÷ 131072     		y = 0.644050598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441902160644531 × 2 - 1) × π
    -0.116195678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36503949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644050598144531 × 2 - 1) × π
    -0.288101196289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.90509660172628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36503949} λ = -0.36503949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90509660172628))-π/2
    2×atan(0.404502807546075)-π/2
    2×0.38438207056048-π/2
    0.768764141120961-1.57079632675     		φ = -0.80203219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36503949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.915222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80203219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.953060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57921 KachelY 84417 -0.36503949 -0.80203219 -20.915222 -45.953060
    Oben rechts KachelX + 1 57922 KachelY 84417 -0.36499155 -0.80203219 -20.912475 -45.953060
    Unten links KachelX 57921 KachelY + 1 84418 -0.36503949 -0.80206551 -20.915222 -45.954969
    Unten rechts KachelX + 1 57922 KachelY + 1 84418 -0.36499155 -0.80206551 -20.912475 -45.954969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80203219--0.80206551) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dl = 212.281720000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80203219--0.80206551) × R
    3.33200000000033e-05 × 6371000     		dr = 212.281720000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36503949--0.36499155) × cos(-0.80203219) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.695247467848342 × 6371000     		do = 212.346472350813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36503949--0.36499155) × cos(-0.80206551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.695223518031044 × 6371000     		du = 212.339157460141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80203219)-sin(-0.80206551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695247467848342-0.695223518031044)×R²
    abs(-0.36499155--0.36503949)×2.39498172981412e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39498172981412e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39498172981412e-05×40589641000000     		ar = 45076.4979818065m²