Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57919 / 86334
↖ ↑ ↗
← S 49.493107°
W 20.920715°		 ← 198.34 m → S 49.493107°
W 20.917969°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 49.494890°
W 20.920715°		 ← 198.34 m →
39 337 m²		 S 49.494890°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441890716552734 y=0.658679962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441890716552734 × 217)
    floor (0.441890716552734 × 131072)
    floor (57919.5)     		tx = 57919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658679962158203 × 217)
    floor (0.658679962158203 × 131072)
    floor (86334.5)     		ty = 86334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57919 / 86334 ti = "17/57919/86334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57919/86334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57919 ÷ 217
    57919 ÷ 131072     		x = 0.441886901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86334 ÷ 217
    86334 ÷ 131072     		y = 0.658676147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441886901855469 × 2 - 1) × π
    -0.116226196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36513536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.317352294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996991638297928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36513536} λ = -0.36513536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996991638297928))-π/2
    2×atan(0.368987821962478)-π/2
    2×0.353489329536886-π/2
    0.706978659073772-1.57079632675     		φ = -0.86381767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36513536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.920715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86381767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.493107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57919 KachelY 86334 -0.36513536 -0.86381767 -20.920715 -49.493107
    Oben rechts KachelX + 1 57920 KachelY 86334 -0.36508743 -0.86381767 -20.917969 -49.493107
    Unten links KachelX 57919 KachelY + 1 86335 -0.36513536 -0.86384880 -20.920715 -49.494890
    Unten rechts KachelX + 1 57920 KachelY + 1 86335 -0.36508743 -0.86384880 -20.917969 -49.494890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86381767--0.86384880) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86381767--0.86384880) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36513536--0.36508743) × cos(-0.86381767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649539527871648 × 6371000     		do = 198.34470879625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36513536--0.36508743) × cos(-0.86384880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649515858551728 × 6371000     		du = 198.33748108467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86381767)-sin(-0.86384880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649539527871648-0.649515858551728)×R²
    abs(-0.36508743--0.36513536)×2.3669319920705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3669319920705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3669319920705e-05×40589641000000     		ar = 39336.8366400996m²