Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57919 / 86333
↖ ↑ ↗
← S 49.491323°
W 20.920715°		 ← 198.35 m → S 49.491323°
W 20.917969°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
S 49.493107°
W 20.920715°		 ← 198.34 m →
39 351 m²		 S 49.493107°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441890716552734 y=0.658672332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441890716552734 × 217)
    floor (0.441890716552734 × 131072)
    floor (57919.5)     		tx = 57919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658672332763672 × 217)
    floor (0.658672332763672 × 131072)
    floor (86333.5)     		ty = 86333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57919 / 86333 ti = "17/57919/86333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57919/86333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57919 ÷ 217
    57919 ÷ 131072     		x = 0.441886901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86333 ÷ 217
    86333 ÷ 131072     		y = 0.658668518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441886901855469 × 2 - 1) × π
    -0.116226196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36513536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658668518066406 × 2 - 1) × π
    -0.317337036132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.996943701398308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36513536} λ = -0.36513536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996943701398308))-π/2
    2×atan(0.369005510518624)-π/2
    2×0.35350489827622-π/2
    0.707009796552439-1.57079632675     		φ = -0.86378653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36513536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.920715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86378653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.491323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57919 KachelY 86333 -0.36513536 -0.86378653 -20.920715 -49.491323
    Oben rechts KachelX + 1 57920 KachelY 86333 -0.36508743 -0.86378653 -20.917969 -49.491323
    Unten links KachelX 57919 KachelY + 1 86334 -0.36513536 -0.86381767 -20.920715 -49.493107
    Unten rechts KachelX + 1 57920 KachelY + 1 86334 -0.36508743 -0.86381767 -20.917969 -49.493107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86378653--0.86381767) × R
    3.11399999999296e-05 × 6371000     		dl = 198.392939999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86378653--0.86381767) × R
    3.11399999999296e-05 × 6371000     		dr = 198.392939999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36513536--0.36508743) × cos(-0.86378653) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649563204165191 × 6371000     		do = 198.351938637309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36513536--0.36508743) × cos(-0.86381767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649539527871648 × 6371000     		du = 198.34470879625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86378653)-sin(-0.86381767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649563204165191-0.649539527871648)×R²
    abs(-0.36508743--0.36513536)×2.36762935428292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36762935428292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36762935428292e-05×40589641000000     		ar = 39350.9070893498m²