Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57919 / 81602
↖ ↑ ↗
← S 40.317232°
W 20.920715°		 ← 232.83 m → S 40.317232°
W 20.917969°		 →
↑
232.86 m
↓
↑
232.86 m
↓
S 40.319326°
W 20.920715°		 ← 232.82 m →
54 216 m²		 S 40.319326°
W 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441890716552734 y=0.622577667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441890716552734 × 217)
    floor (0.441890716552734 × 131072)
    floor (57919.5)     		tx = 57919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622577667236328 × 217)
    floor (0.622577667236328 × 131072)
    floor (81602.5)     		ty = 81602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57919 / 81602 ti = "17/57919/81602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57919/81602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57919 ÷ 217
    57919 ÷ 131072     		x = 0.441886901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81602 ÷ 217
    81602 ÷ 131072     		y = 0.622573852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441886901855469 × 2 - 1) × π
    -0.116226196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36513536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622573852539062 × 2 - 1) × π
    -0.245147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770154229295822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36513536} λ = -0.36513536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770154229295822))-π/2
    2×atan(0.462941663638234)-π/2
    2×0.433563943896621-π/2
    0.867127887793243-1.57079632675     		φ = -0.70366844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36513536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.920715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70366844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.317232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57919 KachelY 81602 -0.36513536 -0.70366844 -20.920715 -40.317232
    Oben rechts KachelX + 1 57920 KachelY 81602 -0.36508743 -0.70366844 -20.917969 -40.317232
    Unten links KachelX 57919 KachelY + 1 81603 -0.36513536 -0.70370499 -20.920715 -40.319326
    Unten rechts KachelX + 1 57920 KachelY + 1 81603 -0.36508743 -0.70370499 -20.917969 -40.319326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70366844--0.70370499) × R
    3.65500000000241e-05 × 6371000     		dl = 232.860050000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70366844--0.70370499) × R
    3.65500000000241e-05 × 6371000     		dr = 232.860050000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36513536--0.36508743) × cos(-0.70366844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762473772244769 × 6371000     		do = 232.830538914563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36513536--0.36508743) × cos(-0.70370499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.762450123186502 × 6371000     		du = 232.823317390123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70366844)-sin(-0.70370499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762473772244769-0.762450123186502)×R²
    abs(-0.36508743--0.36513536)×2.36490582671278e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36490582671278e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36490582671278e-05×40589641000000     		ar = 54216.0901370884m²